Математическое оправдание модели дискретных ориентаций

• Автор: Макаров, Константин Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 163 c. : ил

Введение г

ГЛАВА I. МОДЕЛЬ ЛДСКРЕТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ

§1. Классификация собственных функций оператора Фоккера-Планка по представлениям группы симметрии куба

§2. Качественный анализ младших собственных функций оператора

§3. Вывод модели дискретных ориентаций

Глава II. П01РАНСЛ0ЙНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

ОПЕРАТОРА "МАЛОЙ ДИФФУЗИИ"

§1. Главный член погранслойной асимптотики собственных функций: вывод и решение "параболического уравнения"
§2. Построение полного асимптотического разложения типа внутреннего пограничного слоя в окрестности перевальной точки

§3. Асимптотика главных членов разложения в окрестности вершины

Глава III. ЛОКАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ

ВЕРШИНЫ
§1. Постановка задачи
§2. Пересечение двух пограничных слоев 81 §3. Сшивание асимптотик
§4. Угловой пограничный слой
§5. Однозначная разрешимость уравнений
углового пограничного слоя < П32
ГЛАВА ІУ. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ОПЕРАТОРА "МАЛОЙ ДШФУЗИИ" И ФОРМА ЛИНИИ ПОГЛОЩЕНИЯ В ТЕОРИИ МЕССБАУЭРОВСКИХ СПЕКТРОВ
§1. Вариационные оценки низших собственных значений
§2. Асимптотика собственных функций
в "среднем"
§3. "Почти" инвариантность собственного подпространства младших собственных функций относительно оператора умножения
§4. Форма линии поглощения. Асимптотика
билинейной формы резольвенты оператора 132 Заключение
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Асимптотический спектральный анализ сингулярно возмущенного оператора Фоккера-Планка или соответствующего диффузионного оператора с малым параметром при старших производных представляет собой важную задачу математической физики [II.
Интерес к эллиптическим и параболическим дифференциальным уравнениям с малым параметром тесно связан с задачей изучения малых случайных возмущений динамических систем [21. Впервые такая задача ставилась в статье Понтрягина, Андронова и Витта [З^, результаты которой относились к одномерным и, частично, к двумерным динамическим системам. В сущности, речь идет об асимптотических задачах, возникающих при стремлении к нулю параметра, характеризующего малость возмущения. Малые возмущения на больших интервалах времени, вообще говоря, оказывают существенное влияние на поведение системы. Так, например, даже если соответствующая детерминированная система имеет асимптотическое положение равновесия, эффект малых случайных возмущений состоит в том, что все траектории системы покидают область притяжения соответствующего положения равновесия с вероятностью I. В случае, когда возмущение динамической системы 2С = &Сх) представляет собой гауссовский процесс белого шума, то возмущенное движение становится случайным процессом , который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению -V £ 6(0 . Здесь ьАь - К, -мерный винеровский процесс (броуновское движение), &0С) - векторное поле сноса, £ - малый вещественный параметр.
К задачам, которые позволяют учесть влияние малых случай50.
2. Матрица М (8x8), изготовленная из первых восьми собственных чисел оператора по правилам (1.21), должна быть асимптотически марковской, т.е.
уу> •• 0 О
3 У<-
При этом состояния Д/^- 0x5 V. А/ о шлеют вид стохастических распределений, т.е. неотрицательны и сосредоточены, главным образом, в одной из фундаментальных областей.
Заметим, что первое из перечисленных условий - наиболее важное. Оно гарантирует то, что эволюция является, в существенном, конечномерной в любом экспоненциально большом масштабе времени. Остальные условия лишь обеспечивают возможность стохастической интерпретации полученной конечномерной модели. В сущности, при конкретных расчетах нужно лишь проверить выполнение первого условия.