Разложение по осцилляторному базису как метод решения одно- и многочастичного уравнения Шредингера в континууме

• Автор: Игашов, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОСЦИЛЛЯТОРНЫМ ФУНКЦИЯМ

1. Постановка задачи

2. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в области осцилляций. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения
3. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в классически недоступной области. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения
4. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в левой окрестности точки поворота. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения

5. Общее асимптотическое выражение для коэффициентов

разложения по осцилляторным функциям. Примеры

Приложение 1-1. Нахождение величин С 2(0)

Приложение 1-2. Нахождение величин А^(0)

Приложение 1-3. Вычисление кратных интегралов от функций

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМЕ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Связь сходимости разложения с асимптотическим поведением коэффициентов разложения вспомогательной функции
2. Асимптотика коэффициентов разложения вспомогательной функции
3. Поточечная сходимость рядов Фурье по осцилляторным функциям. Примеры

4. 06 одном достаточном условии расходимости при почленном дифференцировании рядов Фурье по осцилляторным функциям ....79 Приложение Н-1. Техника вычисления осцилляторных функций
ГЛАВА III. ОСЦИЛЛЯТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КАК МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНО- И МНОГОЧАСТИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ МЕТОДА РЕЗОНИРУЮЩИХ ГРУПП
1. Одночастичная задача в осцллляторном представлении. Схематическое рассмотрение
2. Многочастичная многоканальная задача. Алгебраическая версия метода резонирующих групп
3. Исследование реакции 61л(п, б)4Не
Приложение III-1. Производящая функция для собственных
функций трёхмерного гармонического осциллятора
Приложение Ш-2. Некоторые вопросы вычисления матричных элементов на антисимметризованных производящих функциях ....138 Приложение Ш-З. Доказательство одного тождества для свёртки по магнитным квантовым числам произведения двух
сферических функций с 3-] символом
Приложение Ш-4. Производящие матричные элементы,
необходимые для расчёта сечений реакции 61л(пД)4Не
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Система собственных функций гармонического осциллятора занимает особое место и имеет многочисленные приложения в современной физике [1]-[5]. Особая роль собственных функций гармонического осциллятора обусловлена рядом их важных свойств, среди которых выделим следующие: собственные функции многочастичного осциллятора допускают отделение движения общего центра масс; интегралы перекрытия многочастичных функций могут быть вычислены аналитически. Отметим также, что развиты регулярные методы построения и классификации многочастичных осцилляторных функций, а также достаточно хорошо изучены их трансформационные свойства при переходе от одного набора координат Якоби к другому (см. [1]-[6]). Это свойство особенно важно при построении антисимметричных функций кластерных каналов, поскольку операции перестановки номеров координат нуклонов, необходимые для этого, сводятся к преобразованиям координат Якоби.
Коротко рассмотрим некоторые из новых приложений собственных функций гармонического осциллятора. В работах [7], [8] был предложен новый метод изучения резонансных состояний. Этот метод основан на исследовании функции спектральной плотности. Для построения функции спектральной плотности требуется решение задачи на собственные функции и собственные значения гамильтониана рассматриваемой квантомеханической системы. В подходе, предложенном в работах [7], [8], используется некоторая ортогональная система функций {V9* }|=а ■ При этом задача на собственные функции и собственные значения гамильтониана редуцируется к задаче диа-гонализации матрицы гамильтониана г,у < N на
укороченном наборе функций {^Pг}i
ат+1{х) = ат{х)(1х. (1.142)
Из (1.139) нетрудно найти асимптотическое выражение для Лга, т, ■ 1,2,..6:
* = "1§т,
<..-^/<»(4 + 0(1), 1‘.-0/“'т + о '■•■‘0гтт*оф.
1.143)
1.144)
1.145)
1.146)
1.147)
1.148)
Здесь т—я производная функции /(г) обозначена Значения
ат(0) найдены в Приложении 1-3.
Оценим Зт. Отметим, что та-кратное дифференцирование по г в (1.140) даже в случае т = 6 связано с весьма громоздкими вычислениями. Однако нам достаточно будет доказать ограниченность множителя
(гКФГГЬ'ФГ'м
в (1.140) на всём промежутке интегрирования. Нетрудно видеть, что выражение (1.149) представляет собой сумму произведений составленных из степеней [—1 а также производных различ-
г т —1 Г -I — 1/
ных порядков от — Ф'{^) > —и/(г), либо самих этих
функций. Докажем сначала ограниченность производных

— [-ф'(х)Г . (1.150)