Классические решения в теории струн

• Автор: Михайлов, Виктор Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с. : ил.

Содержание
1 Введение
1.1 Классические струны и аномальные размерности операторов
1.2 Классические решения в калибровочных теориях
2 Асимптотический анзатц Бете и регуляризация
2.1 Алгебраическая кривая для сложенной струны
2.2 Выбор регуляризации
3 Фермионные частоты циркулярных струн
3.1 Спиновые расслоения и угловые координаты
3.2 Циркулярные струны в х
3.2.1 Случай йи(2) циркулярной струны
3.2.2 Случай $1(2) циркулярной струны
3.3 Циркулярные струны в пространстве х СР3
3.3.1 Случай ви(2) циркулярной струны
3.3.2 Случай $1(2) циркулярной струны
3.4 Бозонная СР3 частота
4 Неабелевы струны
4.1 Несуперсимметричная модель
4.2 Суперсимметричная модель
4.3 Теория на мировой поверхности струны
5 Обобщенные уравнения Богомольного и системы типа Тоды
5.1 Редукция уравнений Богомольного
5.2 Граничные операторы ‘т Хоофта
5.3 Уравнения открытой цепочки Тоды из уравнений Богомольного
5.4 Решение уравнений Тоды
5.5 Доказательство гипотезы для алгебр Ап
5.6 Решения с линейной сингулярностью
5.7 Частные случаи
6 Заключение

1 Введение
Исследование квантовой динамики системы невозможно без хорошего понимания ее классической динамики. В режиме слабой связи квазиклассическое вычисление является хорошим приближением. В случае сильной связи наивное квазиклассическое приближение обычно дает ответы, весьма далекие от реальности, однако из этого правила есть исключения. Например, существуют величины, защищенные от перенормировки симметрией. Например, в суперсимметричных теориях массы так называемых БПС состояний связаны с центральными зарядами алгебры суперсимметрии. Исследование суперсимметричных уравнений и их солитонных решений является одной из тем данной диссертации. Другое применение квазиклассических методов в режиме сильной связи возникает в случае дуальностей типа сильная-слабая связь. Классическим примером такой дуальности является Я-дуальность калибровочных теорий, связывающая электрические и магнитные возбуждения. В 1997 году была открыта [1, 2, 3] более удивительная дуальность, связывающая калибровочную теорию и теорию гравитации, точнее, теорию струн, в большем числе измерений. Первоначально гипотеза была сформулирована для максимально суперсимметрич-ной теории Янга-Миллса в четырехмерии и замкнутой суперструны типа II В в пространстве АйБ5 х Б5. Некоторые аспекты применения этой дуальности к вычислению аномальных размерностей в калибровочной теории будут рассмотрены в нашей диссертации.
Структура работы
Диссертация состоит из вводной главы и четырех глав, в которых представлены оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во введении дан краткий обзор применения Ас1Б/СРТ соответствия к вычислению аномальных размерностей операторов в калибровочной теории, а также некоторых аспектов БПС уравнений в суперсимметричных калибровочных теориях, в том числе топологических. Во второй главе с помощью метода алгебраической кривой получены значения частот возбуждений для так называемой сложенной струны в пространстве Яс(54 х СР3. Предложен метод ре-

гуляризации суммы по частотам, естественный с точки зрения интегрируемой системы. В третьей главе рассмотрены частоты фермионных возбуждений для различных классических решений для струны в пространствах А<18ь х55и уЫ54 х СР3. Показано, что для получения правильного результата для фермионных частот методом разложения над классическим решением необходимо выбирать правильные условия периодичности для фермионов. Эти условия периодичности связаны со спин-структурой таргет-пространства. В главе 4 мы переходим к рассмотрению БПС уравнений в су-персимметричных теориях. Обсуждаются струнные решения этих уравнений в теориях с ненулевым химпотенциалом. В главе 5 рассмотрены решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие граничные операторы ’т Хоофта в Л/" = 4 супер-симметричной теории Янга-Миллса на полупространстве.
1.1 Классические струны и аномальные размерности операторов
АбБ/СРТ соответствие сопоставляет различные величины в конформноинвариантной калибровочной теории и теории суперструны в пространстве анти де Ситтера. Пространство А<18п можно представить как поверхность в п + 1 мерном пространстве с метрикой

бв2 = -Ах1 - &х2п + 2 йж2 , (1)

заданную уравнением
--х2 + Ужг2 = -Д2. (2)

Топологически это пространство представляет собой Я1 х К”-1, но как правило
рассматривают его универсальное накрытие К1 х К11-1, т.е. временное направле-
ние становится некомпактным. Конформной границей этого многообразия является конформно-компактифицированное пространство Минковского К1 х 5П-2. При радиальном квантовании конформной теории поля на К1 х Бп~2 спектр состояний есть спектр размерностей соответствующих им операторов. Согласно А<18/СРТ дуальности, эти размерности должны совпадать с энергиями струнных состояний в пространстве А(18. Понять, какому состоянию соответствует оператор, можно из соображений

В дальнейшем мы будем использовать этот второй способ введения химпотенциала.
Фактически, неабелева струна — это твистованная 2д? струна, поэтому прежде мы опишем ZN решение, которое может быть записано следующим образом [83]:

ф(г) О

(г) О

е“<Мг)

ЖЩЛ')

и(1)

и(1)

1 ... О

О о

(.дга) [-1 + /мА{г),

О о
{д,а) [1 - /(г)],
(63)
где индекс г — 1,2 обозначает координаты в плоскости, ортогональной струне, г и а есть полярные координаты в этой плоскости. Профильные функции ф(г) и фм{г) определяют профили скалярных полей, а функции /лтл(г),