Квазиклассические спектральные серии нелинейного оператора типа Хартри

• Автор: Литвинец, Федор Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Глава 1. Задача Коши для уравнения типа Хартри в классе траекторио-сосредо-точенных функций

1 Постановка задачи и обозначения

2 Класс траекторно-сосредоточенных функций

3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста

3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов

3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка

3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий

4 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера

5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера

6 Счетный набор решений уравения типа Хартри (то<10(Н3//2))

Глава 2. Квазиклассичсские спектральные серии нелинейного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы
7 Постановка задачи
8 Конструкция траскторно-когерснтных состояний нестационарного уравнения типа Хартри
9 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста
10 Спектр осциллятора с нелинейным квадратичным потенциалом
10.1 Спектр осциллятора в постоянном магнитном поле с нелинейным квад-
, ратичным потенциалом
10.2 Одномерный осциллятор
11 Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора Хартри с нелинейным потенциалом гауссового вида
Глава 3. Квазиклассичсские траекторно-сосрсдоточенные состояния бозе-эйнштей-новского конденсата
12 Постановка задачи
13 Квазиклассичсские состояния бозе-эйнштейновского конденсата
14 Обсуждение полученных результатов
Глава 4. Решение уравнения типа Хартри в адиабатическом приближении, фаза Берри
15 Постановка задачи
16 Адиабатическое приближение
17 Осциллятор с нелинейным квадратичным потенциалом
17.1 Осциллятора в однородном магнитном поле
с нелинейным квадратичным потенциалом
17.2 Одномерный осциллятор
Заключение
Приложение А. Система в вариациях
Приложение В. Многомерные полиномы Эрмита

Разработка точных и приближенных методов интегрирования нелинейных уравнений, которые служат основой построения моделей в различных областях современной теоретической физики, является актуальной проблемой. Так, развитие новых лазерных технологий и их применение к исследованию ансамблей когерентных атомов привело к выдающимся достижениям в создании и исследовании бозе-эйнштейновских конденсатов паров атомов щелочных металлов. То, что в системе частиц, подчиняющихся статистике Бозе, и число которых сохраняется, должна существовать температура, ниже которой макроскопически большое число частиц “конденсируются” в одном и том же состоянии, было предсказано Эйнштейном в 1924 году на основе идей Бозе. Хотя эффект конденсации был первоначально предсказан для системы невзаимодействующих частиц, уже в скором времени было обнаружено явление сверхтекучести жидкого гелия. Оказалось, что это явление связано с бозе-эйнштейновской конденсацией частиц системы. В 1995 году удалось получить конденсат системы, сильно отличающейся по своим свойствам от жидкого гелия. Был создан конденсат паров щелочных металлов в магнитной ловушке [1,2].
В свою очередь, эти достижения стимулировали построение теоретических моделей, описывающих поведение нелинейных систем во внешних полях. В моделях бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК) широко используются локальное и нелокальное уравнения Гросса-Питаевского (последнее в математической литературе принято называть уравнением типа Хартри). Таким образом, разработка методов построения решений нелинейного уравнения типа Хартри необходима для эффективного анализа этих систем. Возможности точного интегрирования многомерных нелинейных уравнений ограничены. Поэтому во многих случаях лишь асимптотические методы, среди которых наиболее эффективным является квазиклассическое приближение, позволяют найти в аналитическом виде решения, описывающие поведение нелинейных систем.
Предметом исследования данной диссертационной работы является спектральная задача для нелинейного оператора Хартри в квазиклассическом приближении
где самосопряженный в Ьг оператор типа Хартри действует следующим образом:
Здесь г = (-г'ЙУх,.т), го = (-гйУУ,у),х,у 6 Ип, II(г), У(г,и>) - самосопряженные в
1,2 операторы, являющиеся гладкими функциями от некоммутирующих операторов, и упорядоченные по Вейлю [3,4], Ф* — комплексно сопряженная к Ф функция, я и Н — вещественные параметры, Н — “малый” параметр, /г б (0,1].
В важном частном случае, когда вейлевские символы операторов в (0.2), (0.3) имеют вид Я(г) = р2/2т + и(х), р б Шп, К(2,го) = У(х,у), уравнение (0.1) записывается в виде
Нх Ф = Е Ф
(0.1)
Нх Ф = Я (г) Ф + хУ(Ф)Ф
(0.2)
(0.3)
(0.4)

Это уравнение самосогласованного поля с внешним потенциалом II(х) и потенциалом взаимодействия V(х, у) играет фундаментальную роль не только в теории бозе-эйнштейновского конденсата [5]. В частности, оно используется в нелинейной оптике для описания распространения импульсов [6], в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [7].
В линейной теории (когда в уравнении (0.1) я — 0) аппарат квазиклассических асимптотик, возникший практически одновременно с квантовой механикой, является реализацией важного для физической теории принципа соответствия [8,9] квантовых и классических задач. В определенном смысле математическое обоснование принципа соответствия дает теория Маслова [10,11], охватывающая наряду со спектральными задачами задачу с начальными данными и задачу рассеяния (см. также [12]).
Одним из важнейших моментов квазиклассического приближения является сведение построения квазиклассического решения квантовой задачи к исследованию решений уравнений движения соответствующей классической системы, ее геометрических и топологических характеристик. Для “линейной” квантовой механики [я = 0 в (0.1)) соответствующая классическая система — это априори гамильтонова система в фазовом пространстве с канонической 2-формой йр А <1:х и гамильтонианом Н{г) (г — (р,х)) — символом оператора Я(г). В качестве геометрических объектов фазового пространства, порождающих квазиклассические ответы, выступают изотропные подмногообразия Ак ((др А (1х)Ак = 0) размерности к, 0 < к < п, где п — размерность конфигурационного пространства.
В спектральных задачах квазиклассические собственные функции и собственные значения — спектральные серии или квазимоды [13-15] можно сопоставить компактным Ак лишь при условии их инвариантности относительно фазового потока д1н (Ак — д1цАк). При этом в маломерном случае, т. е. при к < п, инвариантные изотропные подмногообразия должны удовлетворять дополнительному условию типа условия устойчивости. Это условие на геометрическом языке означает существование инвариантного комплексного ростка Маслова гп над Ак [14,15], образованного комплексными траекториями линеаризованной системы в окрестности Ак. В простейшем случае к = 0, когда А0 — устойчивая точка покоя гамильтонова векторного поля 7У2Л(г), алгоритм построения соответствующих спектральных серий методом комплексного ростка (канонический оператор Маслова с комплексной квадратичной фазой [13-15]), разумеется, эквивалентен известному в физике методу осцилляторного приближения в окрестности точки А0. В случае замкнутой фазовой кривой А1 [16-18] условие орбитальной устойчивости (условие существования комплексного ростка г11 над А1) эквивалентно существованию базиса Флоке решений соответствующей системы в вариациях, косоортогональных касательному вектору к кривой А1 [14,15].
Обобщение рассмотренных конструкций на случай нелинейных квантовых систем заведомо нетривиально, поскольку сама постановка задачи о соответствии “классике” уже является проблематичной, так как не ясно (в отличие от линейного случая), что понимать под уравнениями классической механики, отвечающей в пределе при А —> 0 заданной квантовой теории с нелинейным гамильтонианом Н„ (0.2).
Ответ на этот вопрос зависит, по-видимому, от класса функций, в котором строятся

Ьт 2тЬхъ,
~ 2 тс
/2 трс Я3 -я2
-Из 2 трс 7/1
у н2 е -Н 2трс е
$)хх
Ате2
(10.4)
(10.5)

-Н2н,
-щщ
-им
Аткс?
-Н,Н3

н2 - Щ +
Н2 Н
Н2 - II2 +
я2я3
Аткс2
е2
Здесь Н1,Н2,Н3 — декартовы компоненты магнитного поля, Я = /Н2 + Щ + Н3; к, = к + х(а + Ь),к = к + ха.
Для квадратичного гамильтониана приближенная система (8.14), (8.15), (8.16) совпадает с исходной системой Гамильтона-Эренфеста (8.5). Так как Р(г, Д) = 0, то уравнения (8.16), описывающие движение средних г(1, /г), интегрируются независимо от уравнения для вторых моментов Д2(£)- Нетрудно заметить, что 2](£) = 0 и г(£) = 2°(£),
д2(0 = Д§(0Уравнение (8.14) примет вид
р=-(* + *„)*
?= —Р - х^-(Я,х], т 2 тс
Стационарное решение 2Г, системы (10.6) имеет вид
X, = 0, Р, = 0.
[Я, [*,//]],
(10.6)
(10.7)
Система в вариациях (8.21), записанная в векторной форме (см. (6.4)), примет вид
• о Н2„2 л
г = -у + —2.
т 2 тс
(н,г)н,
(10.8)
Линейно независимые решения системы (10.8), нормированные условием косоорто-гональности (6.15), имеют вид
0,(0 = е«Ь‘/,(Д), «з(<) = еШз7з(й); (Ю.9)
/Ч(Я)
/2и>а

■ г(-1)"е0)
/з(Д)
( у/т(р - г03) „
/2тиа * ,
Здесь использованы следующие обозначения
(10.10)
у/тПз "
еп = (соэ вт 0, вт соя 0),
е„ = (йт <р, — сое <р, 0),
ёо = (сое (рсоьв, вт (р соэ 9, - вт в),
(10.11)