Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга

• Автор: Макаренко, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение

1 Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна

1.1. Необходимые сведения из теории штеккелевых пространств

1.2. Условия совместности уравнений Эйнштейна

1.3. Изотропные конформно-штеккелевы метрики

1.4. Метрики типа (3.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.5. Метрики типа (3.0). Временная переменная - игнорируемая

1.6. Метрики типа (2.0). Временная переменная - неигнорируемая

1.7. Метрики типа (2.0). Временная переменная - игнорируемая

2 Однородные космологические модели

2.1. Классификация однородных космологических моделей
2.2. Построение тетрады
2.3. Полевые уравнения в спинорном формализме
3 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных космологических моделей
3.1. Уравнения Эйнштейна-Вейля для 1-У1 типов
3.1.1. Т2 = 0 и р2 = 0 (I тип по классификации Бианки) . .
3.1.2. 72 = 0 и р2 ф 0 (II тип по классификации Бианки) . .
3.1.3. р2 ф 0 (Типы III, IV, VI)
3.1.4. р2 = 0 (Типы III, V, VI)

3.1.5. р2 = 0 и а — Я2 (V тип)
3.1.6. р2 = 0 и оі ф й2 (III и VI типы по классификации Бианки)
3.2. VII тип по классификации Бианки
3.3. VIII тип по классификации Бианки
3.4. IX тип по классификации Бианки
4 Однородные метрики Эйнштейна-Вейля для типа I по Бианки
4.1. Полевые уравнений
4.2. Интегрирование полевых уравнений
4.3. Нахождение тетрады
Заключение
Литература

Введение
В настоящее время в физике высоких энергий и космологии предложено большое количество модельных теорий, включающие в себя гравитационное поле. В связи с этим возрастает интерес к разработке методов аналитического исследования различных полевых уравнений в искривленном пространстве-времени.
Уравнения гравитационного поля, описывающие геометрию пространства - времени, играют фундаментальную роль в современной теоретической физике. Вообще говоря, их анализ представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако в ряде случаев, наложив те или иные дополнительные ограничения, удается найти точное решение или хотя бы провести качественное исследование получившихся уравнений. Существует несколько способов наложения ограничений на пространство-время, например, исследование различных алгебраических типов Петрова и Пле-банского, выбор тензора энергии-импульса из физических соображений, задание групп симметрий, действующих на многообразии.
Групповой подход к изучению геометрии пространства является наиболее плодотворным с точки зрения описания гравитационного поля инвариантными свойствами метрики, определяемой полем, не зависящем от системы отнесения. Действительно, если метрика в одной системе координат допускает группу Ли О непрерывных преобразований, сохраняющую метрику, то это будет иметь место и в любой другой системе координат. Действие группы Ли С на пространственно-временном многообразии задается генераторами группы, которые удовлетворяют уравнению

Мы предполагаем, что конформный фактор зависит от игнорируемых переменных, следовательно хотя бы одна из производных не нуль Асо ф О или(и) Вио ф 0. Но в любом из этих случаев из (1.57) видно, что Ф2 = 0. Заметим, что при Всо ф 0 имеем Ф4 = 0 а при Аи> ф 0 - Фо = 0. В обоих случаях получаем либо пространство типа N по Петрову, либо конформно-плоское пространство.
Из вида последних четырех уравнений системы (1.57), можно получить ограничения на ш. Входящие в эти уравнения функции, за исключением ш зависят только от неигнорируемых переменных. Поэтому, учитывая явный вид производной 5ш, получим: ш = г) + (г2(ж. у).
Рассмотрим случай Вш ф 0 Ф4 = 0. Тогда, чтобы Фо ф
необходимо потребовать: Аш — 0, иначе пространство будет конформноплоским. Рассмотрим это условие подробнее. Поскольку А2 — ВЬ ф 0, так как в противном случае тетрада была бы линейно зависимой, то следовательно имеем соотношение
(А — В^д^ш -Ь (Т — А)<Эгсп = 0.
Возможны несколько случаев:
a) А=В, дгсо = 0.
b) А=Ь, дъш — 0.
c) дги> пропорциональна
В первом случае со зависит только от £ и метрика имеет вид:
9а/
‘ А2-В2 А{А - В) А(А - Ь)

(1.58)
то есть мы получаем конформно-штеккелево пространство Эйнштейна типа (1.1). Классификация этих пространств приведена в работе [?]. Второй случай также приводится к пространству типа (1.1).