Квантовые группы и некоммутативные аналоги моделей пространства-времени

• Автор: Куратов, Василий Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 124 с.

0.1. Введение

0.1.1. Актуальность темы и постановка задачи.

Пространство-время является фундаментальным понятием, лежащим в основе наиболее значимых физических теорий. Поэтому изучение возможных моделей пространства-времени (или кинема-тик) имеет принципиальное значение прежде всего для физики. В нерелятивистской физике пространство и время рассматривались независимо друг от друга, что математически связано с расслоен-ностью кинематики Галилея. В специальной теории относительности было установлено, что время и пространство представляют неразрывную сущность и должны рассматриваться как единый объект: кинематика Минковского с псевдоевклидовой геометрией и нулевой кривизной. Общая теория относительности привнесла в физику понятие кривизны. Кинематики (анти) де Ситтера с постоянной (положительной) отрицательной кривизной представляют простейшие модели релятивистского пространства-времени с кривизной.
Развитие физики периодически приводит к такому положению, когда необходимо изменить некоторые из фундаментальных принципов, лежащих в основе наших представлений о строении вещества. Эта неудовлетворенность современным состоянием физики связана, в частности, с расходимостями, появляющимися в теории поля. Применяя известную процедуру перенормировки, расходимости во многих случаях удается устранить, однако искусственность этого приема и наличие неперенормируемых взаимодействий не позволяют считать проблему закрытой.
В качестве исходного пункта преодоления указанных трудностей. по мнению И.Е.Тамма [47], может служить понятие координаты частицы. Возможность сколь угодно точного измерения координаты частицы в классической физике вступает в противоречие с основными фактами физики высоких энергий. Действительно, координаты частицы можно измерить путем рассеяния на ней пробных частиц, например, фотонов или мезонов. Увеличение точности измерения требует перехода к более высоким энергиям, но в этих условиях процесс рассеяния будет сопровождаться рожде-

нием новых частиц. Невозможность различать частицы, участвовавшие в первичном акте рассеяния, и многочисленные вторичные частицы, находящиеся на некотором конечном расстоянии от исходной, ограничивают точность измерения координат.
В квантовой физике неопределенность в измерении физических величин выражается в том, что операторы, соответствующие этим величинам, не коммутируют. Естественно поэтому считать координаты частицы некоммутирующими друг с другом операторами. Такое предположение было выдвинуто в работе [143] и показано, что некоммутирующим координатам отвечают импульсы, которые по-прежнему можно считать обычными числами, но которые теперь образуют не псевдоевклидово, а римано-во простансгво с ненулевой кривизной. Координаты определяются как операторы бесконечно малого сдвига в импульсном пространстве. Таким образом, построение теории поля, учитывающей принципиальную неточность определения координат, можно проводить руководствуясь чисто геометрическим принципом выбором той или иной геометрии пространства импульсов. Квантованные пространственно-временные координаты [143], приводящие к искривленному пространству импульсов, представляют первый пример применения некоммутативной геометрии в квантовой физике. Простейшая геометрия искривленного пространства
геометрия пространства де Ситтера с постоянной кривизной — использовалась, вместо плоского пространства Минковского, в качестве модели импульсного пространства в различных вариантах обобщения квантовой теории поля [19]—[24], [4] [7], [31] [33], [46, 47, 126].
Универсальные константы, такие как фундаментальная длина /. фундаментальная масса М, связанные соотношением I = ■£-. где Гг постоянная Планка, с - скорость света, с необходимостью появляются в таких теориях [45],[134]. Интересные соображения относительно фундаментальной длины I (то есть пространственно-временного интервала, на котором начинает сказываться неком-мутативность координат) приведены в работе В.Г.Кадышевского [19]. Универсальные (то есть справедливые для всех частиц) константы с и Н появляются в теории относительности и квантовой механике. В теории поля универсальной постоянной является кон-

станта Ферми G для слабого взаимодействия. Если допустить, что она является ’’масштабом природы” и извлечь из неё множители Г? и с. то получается как раз универсальная константа длины / = 7 • КГ1' см.
Естественно в качестве обобщения псевдоевклидового пространства импульсов выбрать пространство де Ситтера D{ 1,3), имеющее постоянную отрицательную кривизну [21], которое задается как сфера
у1 - у1 - у1 - у1 - у = -1 (0.1)
в пятимерном псевдоевклидовом пространстве М{ 1,4). Переходя к внутренним бельтрамиевым (или геодезическим) координатам Ра = Уа/УА, а = 0,1,2,3 и учитывая, что псевдовращения в плоскостях {(/Q, гд} порождают сдвиги в направлении ра, нетрудно найти оператор сдвига на вектор к в импульсном пространстве

рф1 - к2 + к (1 + р П = ^о(к)р = Г+рк..(0.2)
где р = (р1-Р2,Рз)- Наиболее характерной особенностью сдвига является его некоммутативность о!о(к)р ф е?о(р)к.
Поскольку в каждом акте элементарного взаимодействия (то есть поглощения или испускания фотона или мезона) происходил сложение импульсов взаимодействующих частиц, то изменение закона сложения больших импульсов приводит к изменению закона взаимодействия частиц в области малых пространственно-временных интервалов.
Операторы координат хп определяются как инфинитезималь-ные операторы сдвига в пространстве импульсов, то есть предполагается, что
0(с?о(к)р) = (1 - г'кх)^(р) (0.3)
при малых к. Используя (0.2), для операторов скалярных волновых функций 0(р) в бельтрамиевых координатах получены [21] выражения
. ( д д п . ( д д
< = *1я РоРа-к— , X = г I рпра—, (0.4)
дро &Ра / иРтг &Ра
У которой «и — 1, «22 = «33 = COS «21 = —«12 COS

«3! = -(«12 sin), (1.105)
а коммутаторы имеют вид
[«13, sin ip = 2«COS [«12, sin ^2] = — г« sin v? cosy?, [«13, «12] = г««1з. (1.106)
Антипод дается формулами
5(«1з) = -«13 COS(p — «12 sin ip,
S(uV2) = -«12 COS

а копроизведение равно
А-p = 1 7

A«i3 = 1 ® «13 + «13 0 cosp — «12 © sin p, (1.108)
Поскольку матрица образующих (1.104) совпадает с матрицей (1.63). то Ev(2) изоморфна £"[[(2). При замене «i2 на «13 и «13 на «i2 формулы (1.63) (1.67) переходят в (1.105)—(1.108).
Квантовая группа Ньютона !V,(2) = SO:(3 1,i-2:а) характеризуется неизменным параметром деформации с, образующими «33 = 1. «п = «22 = COS ф, «12 = sin V’ — -«21,
V V
«23 сщ(ф - г-) = -(«32 + «i3sin(l/! - *-)),
V V
«31 cos[ф - г-) = -(«13 4- «32sin(© - г-)), (1.109)
организованными в матрицу вида
1 cos ф ^2«13 sin гД / • • ■
и = '2 «31 1 *2«32 = • •
- sin Ф Н «23 COS ф , 1 • I