Исследование кватернионных пространств и их взаимосвязи с системами отсчета и физическими полями

• Автор: Ефремов, Александр Петрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 274 с. : ил.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ: КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Глава 1. Предварительные математические сведения
{£. Кватернионы 14
Глава 2. Кватернионный базис 21 " '
2.1. Преобразования кватернионных единиц
Тензорная форма таблицы умножения кватернионов
Форм-инвариантность правила умножения
Связь матриц спинорного и векторного преобразований
Некоторые алгебраические свойства матриц векторного преобразования
2.2. Кватернионный базис 28 *3
Кватернионный базис и его действительные вращения
Собственные функции векторных кватернионных единиц
Примеры собственных функций
Алгебраические свойства собственных функций 34 м.
Собственные функции как проекторы 37 '
Векторы-кватернионы, их проекции и форм-инвариантность 39 -
Дифференцирование Р-базиса и кватернионная связность
Локализация параметров Д-вращений
0-базис как репер Френе-Серре
Глава 3. Векторные кватернионные пространства
3.1. Касательное О-поостранство
Дифференцируемые многообразия и касательные пространства
Кватернионные касательные пространства
Примеры построения касательных (^-пространств
3.2. Трехмерное О-пространство

Собственно кватернионные пространства
Кватернионная метрика
3.3. Дифференциальная структура О-пространств
«Внутренний» анализ аффинных свойств (^-пространства
«Внешний» анализ свойств (^-пространства
Дифференциальные уравнения структуры
3.4. Схема классификации кватернионных пространств
Классификация О-пространств «по неметричности»
Классификация О-пространств «по аффинным характеристикам»
Обсуждение понятия и классификации О-пространств
ЧАСТЬ ВТОРАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В ФИЗИКЕ
Глава 4. Уравнения механики Ньютона в кватернионном базисе
4.1. Произвольно вращающиеся системы отсчета
О-пространство вращающихся триад и уравнения динамики Ньютона
4.2. Уравнения Ньютона в следящем репере
Определения и общий вид уравнений
Вращающийся осциллятор
Маятник Фуко

Глава 5. Кватернионные релятивистские системы отсчета 88 («ъ
5.1. Бикватернионы и бикватернионные векторы М
Элементы алгебры бикватернионов
Форм-инвариантность бикватернионных чисел
Специальные группы инвариантности ВО-чисел
5.2. Кватернионная теория относительности
Пространственно-временной ВО-вектор
Эффекты СТО и диаграммы скоростей
5.3. Неинерциальные релятивистские системы отсчета
Г иперболическое движение
Релятивистское движение по окружности

Прецессия Томаса
5.4.Новые примеры и эффекты релятивистского движения
Релятивистский сдвиг спутников планет
Способы измерения времени
О парадоксе часов и времени жизни пи-мезона
Релятивистский гармонический осциллятор
5.5.Вариант уравнений кватернионной релятивистской динамики
BQ-импульс частицы
Соотношение ускорений 1
Соотношение ускорений 2
Уравнение релятивистской задачи двух тел
5.6.Некоторые задачи релятивистской динамики
Движение заряженной частицы в постоянном магнитном поле
Движение частицы в поле центральной силы
Глава 6. Физические проявления кватернионных структур
6.1 .Q-пространство и уравнение Паули
6.2. Гравитационные поля в поляризованных О-пространствах
Уравнения структуры пространства-времени с трехмерным Q-сечением 162 Уравнения гравитационного поля в квазиримановом Q-пространстве
Уравнения гравитационного поля в пространстве с Q-неметричностью
6.3. Пространства с О-неметричностыо и поле Янга-Миллса
Кривизна Q-неметричности и напряженность поля Янга-Миллса
Заключение
Библиография

Дифференцирование (}-базиса и кватернионная связность
Кватернионные величины могут быть достаточно гладкими функциями параметров, от которых зависят векторные кватернионые единицы.10 В частности, по отношению к углам вращений таковыми являются действительные (^-векторы и сам ()-базис: в их матричные части входят «хорошие» гармонические функции углов поворота. Имея это в виду на примере С|-базиса можно рассмотреть основные дифференциальные соотношения, свойственные векторным кватернионным единицам. Как для всякого ор-тонормированного репера, малые приращения 0-базиса выражаются через векторы этого 0-базиса ск с некоторыми коэффициентами со, носящими название связности (в данном случае - кватернионной, или О-связности,11 кроме того - собственной)
Как видно, в общем случае индексы 0-связности разнородны. Один индекс нумерует аргументы 0-базиса (параметры группы: для 50(3,К) три параметра, для 50(3,С) -шесть), два других индекса - векторные. Из (2-56) следует антисимметрия связности по векторным индексам. Действительно, дифференциал от произведения двух единиц 0-базиса, с одной стороны, есть
Скалярные и векторные слагаемые в (2-57а) и (2-576) приравниваются по отдельности, откуда и следует антисимметрия связности
10 Компоненты и базисные векторы кватернионов рассматриваются как функции действительных переменных.
11 В названии подчеркивается отношение к природе репера. Однако, как показано ниже, связность строится из объектов, реализующих представление группы, и не зависит от вида репера (О-базис или триада полярных векторов).
<1({к{<Ь) = 0}ікп(псІФг
(2-56)
(2-5 7а)
но с другой стороны,
Чп) = +єк„т)чт = еклт аітр<р сІФ'.
(2-576)
о>(1п+^пк
(2-58а)
(2-586)