Интегрируемые структуры в 2d Конформной теории поля и 4d Суперсимметричной калибровочной теории поля

• Автор: Тарнопольский, Григорий Михайлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Объяснение классического АГТ соответствия

1.1 Гипотеза Алдая, Гаиотто и Тачикавы

1.2 Специальный басис состояний в алгебре Тг®Д

1.3 Доказательство Главного предложения

2 Объяснение суперсимметричного АГТ соответствия

2.1 Обобщение АГТ соответствия

2.2 Случай р =

2.2.1 Геометрический подход

2.2.2 Алгебраический подход

2.3 Супсрсиммстричный случай (р = 2, г = 2)
2.3.1 Геометрический подход
2.3.2 Алгебраический подход
2.4 Супсрсимметричный случай: другая компактификация
2.4.1 Другая компактификация
2.4.2 Случай г =
3 Дальнейшее обобщение АГТ соответствия
3.1 Общая конструкция
3.2 Подсчет неподвижных точек действия тора на пространстве модулей инстантонов .
3.2.1 Фиксированные точки на пространстве модулей 1/(2) инстантонов на С2/Жр
3.2.2 Подсчет не эквивалентных производящих функций цветных диаграмм Юнга
3.3 Первая реализация алгебры А(2,р)

3.3.1 р моделей с симметрией алгебры Вирасоро
3.3.2 Сравнение с производящими функциями раскрашенных диаграмм Юнга
3.4 Вторая реализация алгебры А{2,р)
3.4.1 Представления косета в!(2)р х 51(2)п_р/5[(2)п
3.4.2 Произведение последовательных Минимальных моделей
3.4.3 Сравнение с первой реализацией алгебры Л(2,р)
3.5 Сравнение инстантонных статистических сумм
3.5.1 Первая компактификация
3.5.2 Вторая компактификация
Приложения
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение 5
Приложение
Приложение
Приложение
Заключение
Публикации по теме диссертации
Литература

Введение
Открытие АГТ явилось своего рода неожиданностью для экспертов в области двумерной конформной теории поля. Это связанно с тем, что активное изучение двумерной конформной теории поля началось в 1984 году со знаменитой статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова [2], и продолжается по настоящее время. Главная идея этих авторов состояла в одновременном использовании конформной симметрии теории и гипотезы об операторной алгсбсрс локальных полей [3]. За это время в изучении конформной теории поля был достигнут определенный прогресс. В частности, были хорошо изучены свойства одного из основных объектов в теории — конформного блока. Но явной формулы для данного объекта известно не было. Конформный блок можно было вычислять как ряд по степеням параметров (конформных инвариантов координат локальных операторов) коэффициент за коэффициентом, но общего ответа для п-ого коэффициента ряда не было известно. С появлением АГТ соответствия [1], которое по сути устанавливало явную формулу для конформного блока в двумерной конформной теории поля, начался новый подъем интереса к двумерной конформной теории поля.
Алдай, Гаиотто и Тачикава предложили связь между двумерными конформными теориями и АГ = 2 четырехмерными супсрсимметричными калибровочными теориями. В частности, они связали п—точечный конформный блок на сфере с инстантонной частью статистической суммы Некрасова [8,10,130] для калибровочной теории с калибровочной группой 11(2)1 ® • • • ® (7(2)п_3 и со специальным набором полей материи, который либо в (анти-)фундамснталъном представлении группы [1(2)1 или Ц(2)п_з либо в бифундаментальноы представлении [/(2), ® [1(2),+1 для г = 1, ...,п — 2. Теории такого типа обычно называются линейными квиверньши калибровочными теориями [11-14].
Вследствие результатов статьи [1] передовыми задачами стали задачи о понимании и доказательстве АГТ соответствия.

Случай г =
В данном случае наша алгебра является алгеброй Гейзенберга с компонентами а*, и коммутационными соотношениями
[а,,, ат — п5п+ш,о- (2-15)
Представление старшего веса этой алгебры (Фоковский модуль) определено как вакуумное состояние |0)
а„|0) = 0 для п > О,
и образовано векторами вида
а■ ■ ■ а-*:„|0), к} > к2 >■■■ > кп. (2-16)
Можно определить другой базис
|У} = Л?/в)(а:)|0), (2.17)
где Зу/д)(х) полином Джека в интегральной нормировке [93] с параметром д = —Ь2, связанным с разбиением У и, где сделано следующее отождествление:
в.—к ъЬрк)
где рь симметрические полиномы вида
Рк = Рк{х) = У]
Базис состояний |У) обычно называется Джековским базисом по очевидным причинам. Существует система Интегралов Движения Д, которая действует диагонально в Джековском базисе (2.17). Два первых представителя этого семейства (здесь <2 = 6 + 1/6):
її = а_і-а/і,
к>° 1 (2.18) І2 = ка—кЗ-к + д ага7а*:-
к>0 г+]+к=О
Другое важное свойство Джековского базиса было отмечено в [25]. А именно, рассмотрим вертексный оператор
Уа = е(«-<3)^-(1)е^+(1)5 (2.19)
43десь и далее мы предполагаем, что наша алгебра Гейзенберга не имеет нулевой моды, так как она играет искусственную роль в нашей конструкции Другими словами мы предполагаем, что рассматриваем представление со старшим весом, такое, что ао|0) = О