Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2+1 измерениях

• Автор: Ли Киын
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааро-нова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
1.1 Общие и частные решения уравнения Дирака при различных значениях параметров гамильтониана
1.2 Самосопряженные расширения симметрических операторов. Самосопряженные граничные условия
1.3 Однопараметрические семейства самосопряженных радиальных гамильтонианов и их области определения

1.3.1 Первая некритическая область ц < цг,

1.3.2 Вторая некритическая область ци<ц <цс

1.3.3 Критические эффективные заряды ц

1.3.4 Сверхкритические эффективные заряды д >

1.4 Дискретные и непрерывные спектры самосопряженных гамильтонианов

2 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
2.1 Решения радиального уравнения Дирака
2.2 Спектр самосопряженного радиального гамильтониана
2.3 Неустойчивость основного состояния фермионов
2.4 Собственные функции связанных состояний
Оглавление
3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в ска-
лярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
3.1 Решения радиального уравнения Дирака. Спектры
3.2 Собственные функции связанных состояний
3.3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в потенциале Ааронова-Бома. Спектры
3.4 Физические эффекты в 2+1 измерениях: связанное состояние и задача рассеяния
3.5 Рассеяние спин-поляризованных электронов на потенциале Ааронова-Бома
4 Электрически заряженные фермионы нулевой массы в куло-
новских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
4.1 Решения радиального уравнения Дирака
4.2 Спектры самосопряженного радиального гамильтониана. Квазидискретные состояния
4.3 Локальная плотность состояний фермионов
Заключение
Приложения
А Аналитические свойства спектральных функций
В Нормировка решений радиальных уравнений
Литература

Введение
Интерес к физическим явлениям в квантовых системах релятивистских фермионов в присутствии интенсивных внешних полей в пространствах пониженных размерностей, проявляемый в последние годы, вызван открытием ряда эффектов физики конденсированных сред [1], возможностью применения полученных для этих моделей результатов для изучения эффекта Ааронова-Бома [2], квантового эффекта Холла [3-5] и высокотемпературной сверхпроводимости [6,7]. Решения уравнения Дирака для фермионов нулевой массы в 2+1 измерениях описывают состояния фермионов в графене [8-10].
Эффект Ааронова-Бома, предсказанный в работе [2], - одно из наиболее интересных и интригующих явлений квантовой механики. Этот эффект был разносторонне изучен в многочисленных работах (см., например, работы [11-14], а также книгу [15]). Данный эффект возникает при движении электронов в магнитном поле цилиндрически-симметрич-ной конфигурации, напряженность которого равна нулю везде, кроме оси г (г = 0), притом, что векторный потенциал поля отличен от нуля во всем пространстве. В этом случае магнитное поле можно считать сосредоточенным в цилиндрической трубке исчезающе малого радиуса. Поскольку при цилиндрически-симметричной конфигурации внешнего магнитного поля квантово-механическая система инвариантна относительно переноса вдоль оси я, она сводится к двумерной системе в плоскости XV [16]. Поэтому, в этом случае поведение заряженных фермионов в 3+1 измерениях удобно исследовать с помощью уравнения Дирака в 2+1 измерениях, что позволяет учитывать сопутствующие релятивистские эффекты. Кроме
Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааро-нова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
конфигурации полей не вырождено; это состояние с п = 0, я = 1 для у > 0, что при заданном заряде е = -е0 < 0 означает р > О (В > 0), т.е. яр > 0. В основном состоянии, как в состоянии с наименьшей энергией, потенциальная энергия взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем, задаваемая оператором -яр5(г)/г, должна быть минимальной, поэтому яр > 0. Если представить магнитный поток в единицах Фо в форме
и = м+0 = Ы + р, (1.97)
где [р] = N - целое число (< р), а
1 > /3 > 0, (1.98)
то N = 0,1,2
Е, II сЬ \Wpl2аЬ (К99)
т 1ф + /2)2 + Ь2) 03+ 1/2)2 + Ь2 ЦЗ+/2)2 + Ь2
При фиксированном знаке е переход к случаю V < 0, р < О (В < 0) подразумевает одновременные замены /->-/, В —> -В, я —> -5, при которых яр > 0. Поэтому, для // < 0 основное состояние фермиона (с зарядом е) есть состояние с 5 = -1 и с энергией (1.99). Этот результат понятен с точки зрения физики: при изменении знака напряженности магнитного поля энергия взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем будет минимальной, если при этом изменить знак проекции спина фермиона на направление поля.
Нетрудно показать, что спектр сгущается в точке Е — т и его асимптотический вид при и —» оо дается нерслятивистской формулой
(1.100)
Интересно, что эта формула совпадает с формулой, описывающей нерелятивистский дискретный спектр энергий связанных состояний фермиона в чисто кулоновском векторном потенциале (1.6), в которую вместо а входит сумма а + Ь.