Интегралы по траекториям на орбитах групп

• Автор: Кочетов, Евгений Андреевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 200 с. : ил

Содержание
Введение

1 Когерентные состояния и интегралы по траекториям

1.1 Геометрия когерентных состояний

1.2 Интегралы по траекториям

1.3 Вычисление 5п(2) и йгг(1,1) интегралов по траекториям

2 5(7(2) интеграл по траекториям в модели Гейзенберга

2.1 5(7(2) интеграл для статсуммы

2.2 Ферромагнетик Гейзенберга

2.2.1 Теория среднего поля

2.2.2 Спонтанная намагниченность и функции Грина
2.3 Геометрический вывод нелинейной сг-модели для 1Л антиферромагнетика Г ейзенберга
3 Квазиклассический пропагатор на многообразиях когерентных состояний
3.1 5(7(2) (спиновый) пропагатор
3.2 Калибровочная аномалия флуктуационного детерминанта и фаза Солари-Кочетова
3.3 Квазиклассический пропагатор
на орбитах ранга
3.3.1 Другие схемы квантования
4 Инстантонная техника для спинового пропагатора
4.1 Инстантонная формула для сдвига уровней

4.2 Туннелирование спинов
4.2.1 Туннельный сдвиг уровня
4.2.2 LMG модель
4.3 Туннелирование спинов в магнитных молекулах Feg
5 (7(111) и 5(7(211) суперкогерентные состояния и интегралы по траекториям
5.1 (7(111) когерентные состояния и интеграл по траекториям
для модели Джейнса-Каммингса
5.2 Кэлеров суперпотенциал
5.3 Когерентные состояния и интегралы по траекториям для 5гг(2|1)
6 5(7(2|1) интеграл по траекториям для t - J модели
6.1 Спин-зарядовые переменные в t — J модели
6.1.1 Приложения АиБ
6.2 U = со модель Хаббарда
Заключение
Литература

Введение
Ричард Фейнман, явным образом сформулировавший в 1948 году концепцию квантовой амплитуды перехода для частицы в потенциале как интеграла по траекториям на конфигурационном пространстве, почти сразу же обратил внимание на то, что такая конструкция не допускает непосредственного обобщения на спин. В дальнейшем эта проблема всегда вызывала его живой интерес и рассматривалась им как задача первостепенной важности. В частности, в своей широко известной книге [1] Фейнман писал:
...path integrals suffer most grievously from a serious defect. They do not permit a discussion of spin operators ... in a simple and lucid way.... Nevertheless, spin is a simple and vital part of real quantum mechanical systems. It is a serious limitation that the half-integral spin of the electron does not find a simple and ready representation.
Первая серьезная попытка построить интеграл по траекториям для спина была предпринята Шульманом в 1968 году [2]. Однако он, по сути дела, решил задачу о квантовании классического волчка методом континуального интеграла, построив корректное выражение для пропагатора квантового волчка с учетом неодносвязности конфигурационного пространства последнего, Q = 50(3) = RP3. Существенной особенностью спина является, однако, то обстоятельство, что классическая динамика

Важнейший вопрос, возникающий в связи с континуальным представлением интегралов по траекториям (1.2.5-1.2.8), состоит в том, что вообще говоря, это представление носит лишь формальный характер. Все дело в том, что уравнение (1.2.6) нельзя интерпретировать как плотность какой-либо меры в каком-либо смысле. Можно, следуя [24], понимать интеграл (1.2.5) как предел конечнократных аппроксимаций (1.2.4). В этом случае, однако, необходимо описать класс траекторий, на котором сосредоточен интеграл (1.2.5).4 Можно было бы предположить, что интеграл (1.2.5) сосредоточен на гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых траекторий: (г, г) < оо. Но это означает, что траектории г (в), г(з) обязательно разрывны, при этом можно увеличивать гладкость г(з) за счет 5(§), и наоборот, но нельзя добиться, чтобы те и другие были непрерывны. В любом случае строгое обоснование предельного перехода N —> оо в интеграле (1.2.4) представляет определенную проблему [24].
В связи с этим, часто встречается утверждение (см., например, [45]), что в рамках континуального представления любые манипуляции с интегралом (замена переменных, и т.д.) можно рассматривать лишь как способ получить некоторое представление о возможном ответе, в то время как надежный результат можно извлечь только, исходя из дискретного (’’решеточного”) представления (1.2.4). Именно на временной решетке был построен интеграл, дающий общий рецепт квантования (в вещественной поляризации) для конрисоединенных орбит унитарных и ортогональных групп [12] (см. также работу [46], в которой рассмотрено квантование 50(3) орбиты). Однако, в таком подходе явное выражение для амплитуды перехода можно получить лишь в простейших случаях, когда гамильтониан Н является элементом Картановской подалгебры. В общем же случае вычисление многократных интегралов с нетривиальной
4Если бы рассматриваемые интегралы были интегралами по мере, то задача состояла бы в том, чтобы описать пространство, в котором эта мера сосредоточена.