Запутанные состояния и устойчивые квантовые вычисления

• Автор: Бравый, Сергей Борисович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 94 с. : ил

Оглавление
Введение

1. Очистка магических состояний

1.1. Симплектические коды

1.2. Вычислительная модель и формулировка задачи

1.3. Вычисления в группе Клиффорда

1.4. Универсальные вычисления с магическими состояниями

1.5. Очистка магических состояний

2. Топологические квантовые коды

2.1. Торический код

2.2. Коды на решетке с границей
2.3. Исправление ошибок в торическом коде
2.4. Оптимальное кодирующее преобразование
3. Квантовые вычисления с фермионами
3.1. Локальные фермионные моды
3.2. Универсальный базис
3.3. Моделирование фермионов на квантовом компьютере
3.4. Вычисления с майорановскими фермионами
3.5. Моделирование фермионов на графе
4. Энтропия запутанности многочастичных состояний
4.1. Запутанность в двухчастичной системе
4.2. Многочастичный аналог энтропии запутанности
4.3. Детерминантные состояния
4.4. Шестикубитное состояние
5. Совместимость многочастичных и локальных состояний
5.1. Постановка задачи и основные результаты
5.2. Совместимость с чистыми состояниями для кубитов
5.3. Классическая задача о совместимости
5.4. Точное решение для двух кубитов . ,

Заключение
Публикации
Список литературы

Введение
Идея использования динамики многочастичных квантовых систем для решения сложных вычислительных задач возникла более 20 лет назад и, по- ^ видимому, была впервые сформулирована в работах [1, 2]. Несколько позже Deutsch предложил схемную модель квантового компьютера, не зависящую от конкретной физической реализации и позволяющей анализировать его вычислительные возможности [3]. Современное состояние теории квантовых вычислений подробно изложено, например, в учебнике [4].
В настоящее время существует уже довольно обширный список задач, для которых доказано преимущество квантовых вычислений по сравнению с классическими. Он включает задачу разложения числа на простые множители и вычисления дискретного логарифма [5], вычисления с оракулом, в частности, задачу о нахождении скрытой подгруппы в абелевой группе [6, 7] и в диэдральной группе [8], решение уравнения Пелля [9], поиск в неупорядоченной базе данных [10].
При практической реализации квантового компьютера нужно уметь исправлять ошибки, неизбежно возникающие в ходе вычисления из-за взаимодействия с окружающей средой и неточности элементарных операций. На данный момент наиболее перспективными представляются два подхода к решению этой задачи. Первый подход основан на использовании квантовых кодов [11]. В работах [7, 12] было показано, что если неточность элементарных операций меньше некоторого фиксированного значения S ~ 1СГ4, любую квантовую схему можно преобразовать к устойчивому виду, в котором все операции выполняются над закодированными кубитами. При этом появляется много вспомогательных операций, цель которых — обнаружение и исправление ошибок. Недостатком этого метода является черезвы-чайно низкое значение 8. Во втором подходе для реализации квантового компьютера предлагается использовать двухмерные квантовые системы с топологическим порядком [13, 14]. Возбуждения таких систем описываются частицами с неабелевой статистикой (анионами), см. [15, 16]. При этом возбужденные состояния оказываются сильно вырожденными и ’’защищенными” относительно действия локальных возмущений, что позволяет надежно хранить квантовую информацию. Исправление ошибок в этом слу-

представимо в виде
£ = {|Ф> = У (ф) ® 10^-*» , ф) є (С2)®ь} ,
(2.9)
где |0^-і:) = |0,..., 0) — базисный вектор из всех нулей в пространстве N — к кубитов. Требование, что V принадлежит группе Клиффорда связано с тем, что мы рассматриваем только симплектические коды. На операторном языке, V должен переводить матрицы Паули а* на кубитах {к + 1,..., IV} в проверочные операторы кода (£, Ті). При этом операторы действующие на кубиты {1,..., &} переходят в логические операторы.
Наша задача состоит в эффективной реализации кодирующего преобразования V для торического кода при помощи квантовой схемы Су. Очевидно, что размер Су не может быть меньше 0(п2), поскольку мы должны подействовать на каждое ребро решетки хоть один раз. Поэтому мы будем оценивать эффективность реализации V исходя из глубины схемы Су. Поскольку вес любого нетривиального логического оператора не может быть меньше кодового расстояния с1п = п, из условий (2.9) следует, что глубина Су не может быть меньше О(к^п) (схема глубины £) переводит любой однокубитный оператор в 2°-кубитный оператор). Основная цель данного раздела состоит в построении схемы Су имеющей глубину 0(logn).
На первом шаге мы реализуем кодирующее преобразование V для торического кода фиксированного размера (например для решетки 2 х 2). Для этого требуется квантовая схема размера 0(1) (и, естественно, глубины 0(1)). Чтобы двигаться дальше, нам потребуется построить схему глубины 0(1) которая удваивала бы размер решетки. Для этого удобно обобщить определение кодирующего преобразования (2.9), чтобы оно позволяло нам переходить от одной решетки к другой.
Пусть Ь' и Ь" — две произвольные решетки на торе представленные как совокупность вершин, ребер и плакетов (клеточные комплексы). Используя эти решетки, мы можем построить два торических кода (£', ТІ') и (£", 7Ї"). Пусть для некоторых целых чисел т!, т" имеет место равенство
2“'-(іітД = 2т"-(іітД'.
Назовем унитарный оператор
Ш Н'® (С2)®”1' -»■ Н" ® (С2)®'
(2.10)
модулярным преобразованием от решетки V к решетке Ь", если ]У принадлежит группе Клиффорда и
(2.11)