Интегрируемые системы, отвечающие многополюсным полям Хиггса

• Автор: Черняков, Юрий Борисович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

0 Введение
1 Интегрируемые системы: соединение алгебро-геометрического и теоретикогруппового подходов 9*

1.1 Голоморфпые расслоения и системы Хитчина

1.2 Метод г-матрицы

1.3 Вырождение модулей кривых и интегрируемые системы

1.3.1 Метод слияния отмеченных точек

1.3.2 Предел Иноземцева

2 Квадратичные алгебры и эллиптическая система Шлезинджера

2.1 Введение

2.2 Определение

2.3 Получение эллиптической системы Шлезинджера

2.3.1 Векторные расслоения степени один над эллиптическими кривыми
2.3.2 Введение гамильтонианов с помощью деформации комплексной структуры
2.3.3 Эллиптическая система Шлезинджера как симплектическое факторпространство
2.3.4 Изомонодромная проблема
2.4 Классические коммутационные соотношения двухпетлевой группы вЦАТ, С)
2.4.1 Расслоения степени один над эллиптическими кривыми и двухпетлевая группа
2.4.2 Пуассонова структура на
2.4.3 Пуассонова редукция
2.5 Структура редуцированного пуассонова пространства
2.5.1 Квадратичная пуассонова алгебра
2.5.2 Твистованные расслоения
2.6 Гамильтонова структура эллиптической системы Шлезинджера
2.6.1 Бигамильтоновость
2.6.2 Совместность пуассоновых структур
2.7 Редукция к Пенлеве VI
2.8 Квантовая алгебра
2.8.1 Общий случай
2.8.2 Квадратичная алгебра в случае СЬ(2, С)
2.8.3 Квантовый детерминант
3 Интегрируемые системы, полученные методом слияния отмеченных точек
3.1 Рациональная и эллиптическая системы Годена
3.2 Системы, образующиеся в результате преобразования рациональной системы
Годена ;
3.2.1 Случай к точек
3.2.2 Симплектическая форма
3.3 Системы, образующиеся в результате преобразования эллиптической системы
Годена
3.3.1 Гамильтонианы системы Годена в случае двух точек
3.3.2 Гамильтонианы системы, полученной слиянием двух точек

3.3.3 Симметрии эллиптической системы Годена
3.3.4 Симметрии системы, полученной слиянием точек
3.3.5 Матрица оператора Лакса новой системы
3.4 Классические системы, полученные в результате преобразований модифицированного оператора Лакса эллиптической системы Шлезинджера
3.4.1 Эллиптическая система Шлезинджера в случае двух отмеченных точек я N
3.4.2 Система, полученная слиянием двух отмеченных точек
3.4.3 Градуировка и системы, полученные слиянием 3-х отмеченных точек
4 Интегрируемые системы, полученные с использованием предела Иноземцева
4.1 Предел Иноземцева системы, полученной слиянием точек го эллиптической системы Годена
4.2 Системы многих частиц, полученные используя предел Иноземцева
4.2.1 Введение
4.2.2 Эллиптическая модель Годена и э1(Лг, С) случай эллиптической модели
Эйлера-Калоджеро-Мозера
4.2.3 й1(3, С) случай эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера
4.2.4 Вырождения эллиптических функций
4.2.5 Пределы гамильтонианов в э1(3, С) случае эллиптической модели ЭйлераКалоджеро-Мозера
4.2.6 Пределы скобок в э1(3, С) случае
4.2.7 э1(Л^,С) случай
4.2.8 Классификация пределов в э1(3, С) случае эллиптической модели ЭйлераКалоджеро-Мозера
4.2.9 Пределы в э1(2, С) случае эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой
4.2.10 Пределы матриц Лакса
5 Заключение
6 Приложения
6.1 А. Эллиптические функции
6.2 В. Группа СЬ(ДГ,С), алгебра э1(А, С) и эллиптические функции
7 Список литературы

О Введение
Настоящая диссертация посвящена получению и исследованию новых интегрируемых систем на пространстве параметров, определяющих римановы поверхности. Также обнаружены и исследуются новые свойства уже известных интегрируемых систем.
Исследование интегрируемых систем можно разделить на два периода. К первому периоду относятся работы таких великих математиков как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, К.Якоби, У.Гамильтон, Ж.Лиувилль, Г.Дарбу. В конце XIX - начале XX вв. были исследованы многие интересные примеры. Важнейшие работы были сделаны С.Ковалевской, Н.Жуковским, ПЛенлеве, Л.Шлезинджером и др. Были изучены многие системы, представляющие собой гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин - интегралов движения. Заметим, что именно из изучения интегрируемых систем возникла теория групп Ли. Но после работ Пуанкаре стало понятно, что глобальные интегралы движения существуют лишь в исключительных случаях. Это явилось причиной уменьшения интереса к такого рода системам.
Второй период в исследовании интегрируемых систем начался уже во второй половине XX века со знаменитой работы К.Гарднера, Дж.Грина, М.Крускала и Р.Миуры [17], где была предложена нелинейная замена переменных в уравнении Кортвега-де Фриза (КдФ), после которой это уравнение становится линейным и решается в явном виде. Замена основана на формализме прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шре-дипгера. Далее, в работе П.Лакса [31] было обнаружено, что уравнение КдФ возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений. В этой же работе были введены понятие Ь — А пары (пары Лакса) и уравнение Лахса, для которого следы степеней матрицы Лакса Ь являются интегралами движения. В.Захаровым и А.Шабатом [61] было показано, что понятие Ь — А пары свойственно не только уравнению КдФ, но также и нелинейному уравнению Шредингера. Стало попятно, что этот метод, возможно, применим к широкому классу уравнений. Тогда же В.Захаров и Л.Фадцеев в работе [60] показали, что КдФ является бесконечномерной гамильтоновой системой.
В последовавших за этим работах И.Кричевера и С.Новикова ([25], [27]) были введены уравнения Лакса, содержащие спектральный параметр - локальную координату на римано-вой поверхности. В этом случае необходимые для интегрирования сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты в разложении по подходящему базису на римановой поверхности следов степеней матрицы Лакса. Появилась возможность рассматривать матрицу Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности.
Наряду с алгебро-геометрическими методами развивались также и теоретико-групповые. Так, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [44] были развиты метод проектирования и метод редукции, основанный па отображении момента, обобщающем теорему Нетер. Было выполнено явное интегрирование для систем Калоджеро, Сазерленда, непериодических цепочек Тоды. Важным этапом стало появление метода г-матрицы в работах Е.Склянина, Л.Тахтаджяна и Л.Фадцеева ([53],[49],[55]) - удобного способа описания гамильтоновой структуры. Его возникновение связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния, классический вариант метода г-матрицы был развит позже. В рамках формализма г-матрицы находится работа Склянина [51], в которой вводится квадратичная алгебра скобок Пуассона (алгебра Склянина) между переменными, образующими фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица ([54],[15]).
Новые возможности в исследовании интегрируемых систем открыла работа Хитчина [20]. Известно, что из уравнений самодуальности, мнимизирующих действие четырехмерной евклидовой системы Янга-Миллса, следует инстантонное решение. Если же провести раз-

3.4 Классические системы, полученные в результате преобразований модифицированного оператора Лакса эллиптической системы Шлезин-джера
3.4.1 Эллиптическая система Шлезинджера в случае двух отмеченных точек и N
Будем следовать работе ([6]). Рассмотрим модифицированный оператор Лакса (2.67)
L3roup(z) = S0To + J2 (slExiz - Xj)T0 + £ S^a(z - xj) j Ta. (3.67)
Рассмотрим первый по простоте случай, когда N = 2. Пусть количество отмеченных точек тоже равно двум (п = 2). Тогда оператор Лакса принимает следующий вид:
Lgroup(z) = (s0 + SqEi(z - ха) + Sb0Ei(z - zj,)) a0 + {si^pa(z - xa) + Shaipa(z - xb)j oa,
(3.68)
S0° + Sg = 0.
Заметим, что базисные элементы Та являются в случае N = 2 матрицами Паули (Прило-жеіше В). Фазовое пространство системы 7?2,2> определенное 2.19, четырехмерно, гамильтонианами системы являются So и Sq . Как уже говорилось, уравнения движения для эллиптической системы Шлезинджера можно получить, используя квадратичные коммутационные соотношения на динамические переменные S, имеющие в этом случае следующий вид:
= ~{S“> So} = (3-69)
= ІЄа01 (£2(7) - ЕїЦЗ)) Sp* - iEafaip^XabjSp* + i£Q^^(sa6)S^S“ ,
^S“ = -SIb5« = i{5“,5oa}= (3.70)
— <рр(хаЬ) Sp S7 — iEa^(p^(xab)S^Sp.
3.4.2 Система, полученная слиянием двух отмеченных точек
Теперь зафиксируем времена эллиптической системы Шлезинджера. Фактически это означает, что мы перешли к эллиптической системе Годена, переменные фазового пространства которой записаны в базисе sin-алгебры (Приложение В). Проведем преобразование слияния координат отмеченных точек и динамических переменных S ([7]):
хь = ха + е, S^cl^ + clpy1, S^clX + сІЛє-1, (3.71)
где с Є - некоторые коэффициенты. Рассматривая предел є —> 0 и налагая на коэффициенты условия отсутствия сингулярностей, получим выражение для нового оператора Лакса
L fusion (2)