Групповые и вероятностные основания квантовой теории

• Автор: Шелепин, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 293 с.

ВВЕДЕНИЕ б
ЧАСТЬ I.

ТЕОРИЯ АМПЛИТУД ВЕРОЯТНОСТИ И ЕЕ ГРУППОВЫЕ АСПЕКТЫ 10 Вводные замечания

ГЛАВА 1. Об аксиоматическом построении теории амплитуд

вероятности

1.1 Аксиоматика

1.2 Вероятностные характеристики

1.3 Связь с теорией групп. Амплитуда вероятности на однородных пространствах

1.1 Амплитуда вероятности и квантовая теория

ГЛАВА 2. Функции распределения и предельные теоремы для амплитуд вероятности

2.1 Полиномиальное и пшсргеометрическое распределения для амплитуд

и их симметрии. Задача о выборке в теории амплитуд
2.2 Отрицательное пшсргеометрическое распределение и коэффициенты КГ
группы 5С/(1,1)
2.3 Распределение Пуассона для амплитуд
2.1 Сложение подсистем н кооперативные числа
2.5 Соотношения неопределенностей и когерентные состояния. Нормальное распределение
2.6 Предельные теоремы и классический предел
2.7 Марковские процессы с конечным числом состояний
ГЛАВА 3. Марконские процессы со скачками и псевдодифференциальныс уравнения Шредингера и Фокксра-Планка
3.1 Уравнения для марковских процессов
3.2 Псевдодифференциальныс уравнение Шредингера
3.3 Пссвдоднффсрсициалыюс уравнение Фокксра-Планка и ушпренпе

спектральных линий
3.-1 Многомерные иссвдодиффсрснцнальные уравнения
3.5 Псевдоднфференциалыюе уравнение Фоккера-Планка н броуновское движение 59 З.С Стохастические дифференциальные уравнения для скачкообразных процессов
3.7 Обобщение меры Винера на скачкообразные процессы
3.8 Негауссов континуальный интеграл для псевдодиффсренциалыюго уравнения Шредишера
ЧАСТЬ II.
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ГРУПП И 1) и их
ПРИЛОЖЕНИЯ
Вводные замечания
ГЛАВА 4. Когерентные состояния групп Би(1) и SU(N,l)
4.1 О классификации НИ групп Би(1Ч) и SU{N, 1)
4.2 Пространства представлений и генераторы
4.3 Соотношения неопределенностей и построение КС
4.1 Перекрытие КС
4.5 Символы операторов
4.6 Классический предел
4.7 Эволюция КС. “Точная квазиклассика”
4.8 Представления групп SU(N) на полиномах от грассмаповых переменных
ГЛАВА 5. Континуальный интеграл и РВУ для частицы в неабслсвом
поле
5.1 Квантование, классика и псевдоклассика
5.2 Ковариантиые символы и коиечнократпая аппроксимация континуальных интегралов
5.3 Континуальный интеграл для скалярной частицы в неабелевом пате
5.4 РВУ для скалярной частицы в неабслсвом пате
ГЛАВА 6. Коэффициенты Клсбша-Гордана в когерентном и смешанном базисах. Метод перекрытий
ЧАСТЬ III.
ПОЛЕ НА ГРУППЕ ПУАНКАРЕ
Вводные замечания
ГЛАВА 7. Поле па группе Пуанкаре и описание спина
7.1 Параметризация группы Пуанкаре
7.2 Регулярное представление и коордииатпо-сшшовое пространство
7.3 Поле на группе Пуанкаре и спип-тепзорпие поля
7.4 Поле на группе Пуанкаре: симметрии
7.5 Автоморфизмы группы Пуанкаре и дискретные преобразования
7.С Максимальный набор коммутирующих операторов
7.7 Классификация скалярных функции н эквивалентные представления
7.8 Квазирегулярпі.іс представления и описание спина
7.9 Релятивистские волновые уравнения
ГЛАВА 8. Поле на группе Пуанкаре. Двумерно
8.1 Поле на группе Л/ (2)
8.2 Поле на группе Л/(1,1)
8.3 Релятивистские волновые уравнения в 1 + 1 измерении
ГЛАВА 9. Поле на группе Пуанкаре. Трехмерно
9.1 Пате на группе М(3)
9.2 Поле па группе А/(2,1) и дробный спин
9.3 Релятивистские волновые уравнения в 2 + 1 измерении
9.4 Орбитальный момент
9.5 Классификация и базисы НИ группы А/(2,1). Безмассовый случай и тахионы
ГЛАВА 10. Поле на группе Пуанкаре. Четырсхмерне
10.1 Поте на группе Л/(3,1)
10.2 Ратятпвистскне волновые уравнения, инвариантные относитольно
собственной группы Пуанкаре
10.3 РВУ, инвариантные относительно несобственной группы Пуанкаре
Глава 3. Марковские процессы со скачками и пссндодиффсрспцпальпыс уравнения
конечного порядка по О/Ох. Иными словами, за сохранение амплитудно-вероятностной интерпретации в релятивистской теории приходится расплачиваться переходом либо к уравнениям бесконечного порядка (т.е. к нелокальной теории), либо к уравнениям на бесконечное число компонент, отвечающих унитарному представлению группы Лоренца.
Такой результат легко объясним с точки зрения теории групп. Группа Лоренца некомпактна и ее унитарные НП либо одномерны, либо бесконечномерны. Однако инвариантный относительно действия группы оператор, имеющий 1-й порядок по 0/01 (как этого требует теория марковских процессов), имеет бесконечный порядок по О/Ох, и соответствующее уравнение на скалярную функцию V) является пссвдодиффсрен-циальпым. Значение применения пссвдодифферепциальпых уравнений состоит в развитии подхода, альтернативного стандартному. Заметим, что оба подхода тесно связаны, т.к. соответствующие уравнения связаны преобразованием Фолди-Ваутхайзена.
Пссндодифферснцналыюе уравнение Шредшнера впервые появилось, по-видимому, в работе Вейля и 1927 году, но систематическое рассмотрение некоторых его свойств было проведено только н 1963 году [С3|. Оживление интереса началось с середины 80-х годов, уже после развития теории неепдодифференциальных операторов. Так, в [С-1, С5| было получено точное решение одномерного свободного уравнения ПдШ вне светового конуса; в этой области оно совпадает с полученным выше. В той или иной степени уравнение ПдШ рассматривалось в последнее время в ряде работ [60-70], среди которых можно выделить [71, 72]. Отмстим, что псепдодифференцнальныс операторы с квадратным корнем возникают также в задаче о релятивистской струне и и теории гравитации [73-75].
3.3. Псевдодифференциальное уравнение Фоккера-Планка и уширение спектральных линий
Наряду с процессами для амплитуд вероятности исевдоднффсрснциальныс уравнения описывают также процессы со скачками в классической физике, где используются обычные вероятности. Также как в теории амплитуд вероятности, диффузионный подход (связанный с уравнениями Фоккера-Плапка-Колмогорова) становится неадекватным на малых пространственно-временных интервалах. Это, например, относится к задачам теории столкновений, броуновского движения, физики плазмы.
Следуя [16], по аналогии с уравнением ПдШ запишем уравнение для плотности вс-