Исследование статистических свойств хаотических нелинейных колебаний в гамильтоновых системах

• Автор: Улейский, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 159 с. : ил.

ГЛАВА I Гамильтонов хаос в классических и квантовых системах
§ 1 Гамильтонов хаос
§ 2 Проблема квантового хаоса и квантово-классического соответствия
§ 3 Гамильтонов хаос с атомами и фотонами в резонаторе
ГЛАВА II Динамика одномерного нелинейного осциллятора в пространственно-временном поле внешней силы
§ 1 Динамика нелинейного осциллятора в поле периодической во времени и в
пространстве внешней силы
§ 2 Резонансное влияние пространственных осцилляций возмущения на динамику нелинейного осциллятора
§ 3 Случай быстрых пространственных осцилляций возмущения. Метод усреднения
§ 4 Динамическое описание влияния мультипликативного шума на гамильтонову систему
ГЛАВА III Динамика звуковых лучей в пространственно-неоднородных
акустических волноводах
§ 1 Гамильтонов формализм для описания динамики лучей в нерегулярных волноводах
§ 2 Глубоководный акустический волновод
§ 3 Мелководный волновод
§ 4 Высвечивание лучей из мелководного волновода
§ 5 Времена прихода звуковых лучей
§ 6 Распространение лучей в случайно-неоднородных акустических волноводах
ГЛАВА IV Хаотическое рассеяние частиц в плоском гидродинамическом
потоке
§ 1 Модель с периодическим возмущением
§ 1.1 Формулировка задачи

§ 1.2 Стационарный случай
§ 1.3 Хаотическое инвариантное множество потока
§ 1.4 Поиск периодических орбит
§ 1.5 Фрактальная структура рассеяния
§ 2 Модель со стохастическим возмущением
§ 2.1 Численное моделирование случайной функции
§ 2.2 Шумоиндуцированное рассеяние
§ 2.3 Шумоиндуцированные кластеры
ГЛАВА V Гамильтонов хаос в резонаторной квантовой электродинамике
§ 1 Модель Джейнса - Каммингса для двухуровневого атома в квантованном
поле идеального резонатора
§ 2 Квантово-классический атомно-полевой гибрид
§ 2.1 Квантовые степени свободы
§ 2.2 Трансляционная степень свободы
§ 2.3 Квантовые динамические величины
'§ 3 Когерентное поле
§ 3.1 Регулярное и хаотическое движение атома
§ 3.2 Запутанность и квантово-классическое соответствие
§ 3.3 Квантово-классическое соответствие для хаотического движения атома128
§ 3.4 Воспроизводимость квантового состояния в режимах регулярного и
хаотического движения атома
§ 3.5 Атомные фракталы
§ 4 Фоковское поле
§ 4.1 Хаос в фоковском поле
§ 4.2 Фоковский фрактал
Заключение
Список статей, опубликованных по теме диссертации
Библиография

Диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию основных закономерностей динамического хаоса в гамильтоновых системах на примерах из механики, гидродинамики, лучевой акустики и квантовой электродинамики. Выбор примеров обусловлен стремлением продемонстрировать разнообразие нелинейных процессов, которые можно описать в рамках единого подхода.
Открытие и изучение динамического хаоса в простых детерминированных динамических системах стало одним из главных достижений науки второй половины XX века. Проще всего определить динамический хаос в терминах экспоненциальной чувствительности к малым изменениям начальных условий. Если фазовое пространство системы ограничено, то экспоненциально быстро разбегающиеся по одному или нескольким направлениям траектории будут возвращаться в окрестность своего начального положения, что приводит к перемешиванию траекторий в ограниченном пространстве. Динамика называется хаотической, если экспоненциальная чувствительность проявляется почти для всех начальных условий и их вариаций. Отсюда следует практически важный вывод — хаос ограничивает прогнозируемость поведения даже сравнительно простых систем. Неизбежные неточности знания начальных условий в хаотической системе могут экспоненциально быстро нарастать, и через промежуток времени, обратно пропорциональный средней скорости разбегания траекторий (максимальный показатель Ляпунова), начальная неточность достигает неприемлемой для сколь либо разумного прогноза величины.
Пуанкаре, занимаясь проблемой трех тел в небесной механике, установил, что сложное поведение траекторий, чувствительная зависимость от начальных условий и бесконечное множество периодических орбит связано с существованием гомоклинической структуры — бесконечного разнообразия траекторий в окрестности неустойчивой точки равновесия, среди которых наряду со счетным множеством периодических траекторий имеются и хаотические. Как писал Пуанкаре: “Поражаешься, сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить”. Фактически, Пуанкаре была поставлена проблема описания нового типа движения, впоследствии названного динамическим хаосом. Динамический хаос стал тем мостом, который связал давно известные и, казалось бы, несовместимые друг с другом типы движения — регулярное и полностью случайное.
Гамильтоновы системы, в отличие от диссипативных, являются чисто динамически-

чти регулярным поведением на протяжении длительного интервала по г. Области прилипания имеют форму “лопастей”, касающихся невозмущенной сепаратрисы. Пустоты в промежутках между лопастями связаны с быстрым высвечиванием соответствующих лучей.
-1 -0,5 0 0,5

Рис. 13: Сечение Пуанкаре для глубоководного волновода при Aj = 1 км в переменных действие — угол. /, = ///, cos i?, ly = ///j sin т?, /, = 1{Н = — 1).
При Aj = 1 км высвечивание еще более усиливается (Рис. 13). По всей видимости это связано с тем, что крутые лучи с ртлх — Aj/Ar = 0,2 попадают в резонанс с вертикальными осцилляциями неоднородности, описываемый формулой (27), что способствует усилению стохастичности динамики. Роль резонанса (27) в формировании транспортных свойств системы подтверждается тем, что при дальнейшем уменьшении Aj, хаотический слой смеща-