Гамильтонов формализм Де Дондера-Вейля в теории поля

• Автор: Канатчиков, Игорь Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление

Ї. Введение З

II. Глава 1. Теория Де Дендера - Вейля и форма Пугшкаре-Картана

1.1 Гамильтонова формулировка полевых уравнений по Де

Довдеру - Вейлю

1.2 Форма Пуанкаре-Картана и Гамильтоновы полевые уравнения Де Дондера-Вейля . , . . .

III. Глава 2. Основные структуры Гамильтонова формализма ДВ

2.1 Полисимплектическая форма

2.2 Градуированная каноническая симметрия

2.3 Скобки мультивекторных полей и форм ,

2.4 Пред-гамжльтоновы поля

IV. Глава §.: Алгебраические свойства градуируемой скобки Пуассона
3.1 Градуируемая алгебра Ли
3.2 Обобщенные алгебры Герщтенхабера
3.2.1 Правило Лейбница высшего порядка
3.2.2 ■ Правое градуированное правило Лейбница
3.3 Ко-внепшее произведение и алгебра Герштенхабера
V. Глава 4. "Уравнения движения в терминах скобки Пуассона
4.1 Уравнения движения Гамильтоновых (п - 1) - форм
4.2 ДВ полевые уравнения в формулировке скобки Пуассона
и канонически сопряженные переменные
4.3 Сохраняющиеся токи
4.4 Уравнения движения форм произвольной степени
4.5 Дальнейшие обобщения алгебры Гамильтоновых полей .
VI. Глава 5. Ыегамильтоновы формы
5.1 Негамильтоновы формы и мультиьехторно-значные формы
5.2 Некоммутативная алгебра Герштенхабера горизонтальных форм
VII. Глава 6. Некоторые приложения
6.1 Взаимодействующие скалярные поля
6.2 Электромагнитное поле
6.3 Струна Намбу-Гото
6.4 Поле Днрака
VIII. Обсуждение и заключение
Литература
А Приложение
АЛ. Уравнения ДВ в терминах п-мультивекторного поля . . 102 А.2 Градуированное правило Лейбница высшего порядка

Введение
Гамильтонов формализм основан на представлении уравнения движения в форме первого порядка и преобразовании Лежандра. Математические структуры, появляющиеся в такой формулировке динамики имеют фундаментальное значение в широкой области приложений от изучения интегрируемых систем до квантования.
Известное обобщение Гамильтонова формализма на теорию поля основано на функциональных дифференциальных уравнениях первого порядка по частным производным по времени. Эта формулировка требует явного выделения времени, или эволюционной переменной, ж ведет к идее поля как динамической системы с континуально бесконечным числом степеней свободы. Эта точка зрения успешно применяется в многочисленных приложениях, в частности, в каноническом квантовании в теории поля. Хотя она и нарушает дух теории относительности, делая явное различие между пространственными координатами и временем, этой формулировке можно дать ковариантную форму, версия которой обсуждена, например в [1]. Другие обсуждения Гамильтонова формализма в теории поля и дальнейшие детали могут быть найдены, например, в [2, 3, 4, 5]. Заметим, что в рамках этого подхода геометрические построения классической механики могут в принципе быть расширены на теорию поля, используя функционально - аналитические структуры бесконечно - мерных геометрий, однако применимость таких построений часто ограничена, как, например, показывают известные трудности в геометрическом квантовании теории

(-1)«’[£,[£ ,Х]] +
(-1)м»[£ , [X , X]] + (-1)»’ [X , [X , X]] = 0, (2.14)
где 51 = р - 1, д2 = д - 1 и д3 = г - 1.
Все эти свойства вьшоняются для скобки Схоутена- Ниенхейса (СН) [61] мультивекторных полей. Это и не удивительно, так как соотношение между понятием из производной Ли относительно мулътивек-торного поля и и скобкой СН уже ясно из [60] (см. также [62]). Однако, в нашем случае имеется небольшое различие вследствие того, что скобка определена на вертикальных мультивекторах, и содержит только производные относительно вертикальных переменных, в то время как мультивекторы имеют, как вертикальные так горизонтальные индексы. Несмотря на это различие, скобка локально Гамильтоновых мультивекторных полей, определенная в (2.11) будет называться здесь (вертикальной) скобкой СН. Из вшпеупомянутых уравнений ясно, что множество ЬН мультивекторных полей, наделенное скобкой СН является X -градуированной алгеброй Ли. р я
Далее, если X 1 и X 2 *•* Гамильтоновы мультивекторные поля, то:
[XI , 1з]_1 ^
= (-1)р+1^(хи <гуА)
где з = п — д и г = п-р. Первое равенство следует из(2.10) и (2.11). Вторым мы по существу доказываем, что скобка СН двух Гамильтоновых мультивекторных полей - также Гамильтоново мулътивекторное поле с которым может быть связана некоторая Гамильтонова форма. Эта последняя форма по определению может быть идентифицирована со скобкой {[-, •]} двух форм, которую, как следствие, выше можно определить равенством
[Хх , X 23 —I « =:-йУ#1, #1. (2.15)
Это равенство идентифицирует форму, которая связана со скобкой СН дв^х Гамильтоновых мультивекторных полей со скобкой форм, кото-