Резольвентные пределы квантовой эволюции открытых систем

• Автор: Рыжаков, Глеб Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с. : ил.

1 Сильный резольвентный предел
1.1 Пример сильного резольвентного предела
1.2 Простой пример резольвентного предела в пространстве Фока
1.3 Сильный резольвентный предел: гамильтониан с коммутирующими коэффициентами
1.4 Физический пример
1.5 Предел точечного взаимодействия для гамильтониана с некоммутирующими коэффициентами
1.6 Предварительные оценки
1.7 Резольвентный предел семейства асимптотических решений
уравнения Шрёдингера
1.7.1 Вид предельного разрешающего оператора
1.7.2 Предельный генератор и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для предельного разрешающего оператора
1.8 Предел решений уравнения Шрёдингера с гамильтонианом с
некоммутирующими коэффициентами в произвольный момент времени
2 Приложения к физическим моделям

2.1 Взаимодействие излучения с осциллятором с учётом трения
2.1.1 Свободный осциллятор
2.1.2 Осциллятор, взаимодействующий с лазером
2.2 Решение квантового стохастического дифференциального урав-неия в координатном представлении
2.2.1 Квантовое уравнение Лиувилля при наличии диссипации
2.2.2 Условия регистрации силы
2.2.3 Серия последовательных измерений
2.2.4 Обсуждение
3 Вывод квантового кинетического уравнения
3.1 Уравнение для частичного среднего по состоянию окружения
Литература

Литературный обзор.
Открытая квантовая система представляет собой квантовую систему, взаимодействующую с классическим или квантовым окружением (резервуаром), имеющим большое или бесконечное число степеней свободы. Примерами открытых систем могут служить кристаллическая структура, отдельный атом или интерферометр, взаимодействующие с электромагнитным излучением или другими внешними полями, переносящими энергию. Важным с точки зрения приложений является случай, когда окружение имеет фиксированную температуру, а квантовая эволюция необратима. Необратимость эволюции открытых квантовых систем может быть связана как с влиянием процессов измерения, так и с диссипацией энергии в резервуаре. Точное решение уравнения описывающего эволюцию открытой системы обычно не известно и поэтому рассматривается более простая эволюция квантовой системы усреднённая по состоянию окружения (редуцированная эволюция). Процедуре усреднения в классическом случае соответствует условное математическому ожиданию, а в квантовом — операция частичного следа. Как в классическом, так и в квантовом случаях, процедура усреднения является ещё одним источником необратимости, причем в квантовом случае результатом частичного усреднения является вполне положительная необратимая динамика.
Одна из первых работ по исследованию редуцированных открытых систем —- статья Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова [1]. В квантовом случае, редуцированная динамика описывается мастер-уравнением (называемым так-

І Ті

із = 2 сіті / <іхд(ті ж) / сіт2д{т2 - х)К*(т1)Я(т2)у(хі) ■ ■-у{хп)
0 о
1 і
= J (Іті J <1хд(ті -х) J д{т2 - х)(1т2 о о
х (Д*(ті)іг(т2)0(7ї - т2) + Я*(т2)Я(п)9(т2 - Гі))г;(жі) • • • и(ж„
Таким образом:
Jз-Jl=J йтг J (1х д{тг - х) J йт2 д{т2 - ж)5(г1, г2)г/(аг1) ■ • • и(жп), о о
где В(гх, т2) — операторозначная функция со значениями в В(Н), причём:
Ь = тах \В{тьт2)\т) = 0(1),
Т1,т2фЛ] к
вследствие того, что
над - Й|1 ад = Це^'Не^' - л||в{и) = («“ - 1)г = 0(1). Следовательно
II^ _ Л||ь2®В(«) = = ^(^2)-
Сильная оценка для J2 уже была получена в (1.58);
||Л|и2®в(и) = 0(13/2).
С учётом приведённых оценок, вычисление нормы в Щ ® Б(Н) выражения + ^ — Тз приводит к оценке, указанной в формулировки леммы, что завершает её доказательство. □
Таким образом, все необходимые оценки для доказательства теоремы получены. □