Вопросы квантовой динамики частицы в структурах с обычной и фрактальной геометрией

• Автор: Чуприков, Николай Леонидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 207 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Модифицированный метод матрицы переноса

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи

1.3 Матрица переноса для прямоугольного потенциального барьера и ^ -потенциала

1.4 Матрица переноса для систем потенциальных барьеров

1.5 Физический смысл и основные свойства параметров матрицы переноса

1.6 Условия полной прозрачности потенциальных барьеров. Фазовые точки поворота и интерпретация условия прозрачности для фаз

1.7 Условия резонанса для двухбарьерных систем общего вида

1.8 Условия появления широких резонансов для систем специального вида

1.9 Связь волновой функции с элементами матрицы переноса
1.10 Уравнения для элементов матрицы переноса
1.11 Связь матрицы переноса с решениями уравнения Риккати
2 Построение асимптотических разложений волновой функции с учетом дифференциальных следствий уравнения Риккати
2..1 Введение
2.2 Уравнение Риккати для элемента р(х) матрицы переноса
2.3 Асимптотические разложения волновой функции, регулярные в точках поворота конечного порядка
2.4 Связь параметра разложения с постоянной Планка в точке поворота .

2.5 Примеры разложений с учетом одного и двух дифференциальных следствий в случае линейного потенциала
Квантовая динамика частицы в периодических структурах
3.1 Введение
3.2 Рассеяние частицы на одномерной системе N одинаковых потенциальных барьеров
3.2.1 "Сшитое" общее решение уравнения Шредингера для периодических структур
3.2.2 Общие соотношения для параметров рассеяния ограниченных
периодических структур
3.2.3 Области прозрачности и непрозрачности
3.2.4 Отражение от нолубесконечиой периодической структуры
3.2.5 Связь со спектральной задачей для бесконечной периодической
структуры
3.3 Стационарные состояния электрона в периодических структурах во внешнем постоянном однородном электрическом поле
3.3.1 Постановка задачи
3.3.2 Функциональное уравнение для волновых функций, удовлетворяющих условию симметрии задачи
3.3.3 Решение функционального уравнения
3.3.4 О существовании решений, удовлетворяющих условию симметрии задачи
3.3.5 Бесконечные периодические структуры
3.4 Стационарные состояния частицы с переменной массой в периодической структуре во внешнем постоянном однородном электрическом поле
3.4.1 Постановка задачи
3.4.2 Ванье-штарковский спектр
3.4.3 Волновые функции и антинересечение уровней
3.5 Общая характеристика моделей
4 Рассеяние частицы на идеальных фрактальных потенциалах, заданных на канторовом множестве
4.1 Введение
4.2 Рассеяние частицы на самоподобном фрактальном потенциале (СФП), заданном на канторовом множестве
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Рекуррентные соотношения для СФП соседних уровней
4.2.3 Скейлинговые свойства матрицы переноса СФП
4.2.4 Функциональное уравнение для матрицы переноса СФП
4.2.5 Обратные рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП
4.2.0 Решение функционального уравнения для матрицы переноса СФП
4.2.7 Обсуждение результатов численных расчетов
4.2.8 Связь предлагаемого подхода с методом ренормгруппы
4.3 Рассеяние частицы на СФП, заданном на обобщенном канторовом множестве
4.3.1 Постановка задачи
4.3.2 Рекуррентные соотношения для параметров рассеяния СФП . .
4.3.3 Функциональные уравнения для параметров рассеяния СФП . .
4.3.4 Результаты численных расчетов для первых двух типов СФП .
4.3.5 Связь решений функциональных уравнений с характеристиками СФП
4.3.6 Матрица переноса СФП третьего типа
4.4 Рассеяние частицы на фрактальном потенциале в форме канторовой лестницы (КЛ)
4.4.1 Постановка задачи
4.4.2 Рекуррентные соотношения для матрицы переноса КЛ
4.4.3 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса КЛ
4.4.4 Матрица переноса КЛ с фрактальной размерностью, равной единице

решением уравнения Риккати
i^-y2 + ^[E-V(x) = 0. (1.11.59)
Для рассматриваемого, надбарьерного рассеяния всегда существует решение, для которого к > 0 Vi е [о., 6]. Далее будем полагать, что это условие выполняется. Кроме того, для дальнейшего важно заметить, что условие постоянства плотности потока вероятности для данного решения имеет вид
к(*)е-2ГМ = const ф 0. (1.11.60)
Отсюда, в частности, следует, что поскольку волновая функция - всюду ограниченная функция, к{х) для точного решения у(х) нигде не обращается в ноль.
Теперь функцию G{x х) можно записать в виде
G(x; х) = ЛФ5(х) + Be~is'(x (1.11.61)
где константы А и В находятся из условий "сшивания" в точке х — а. В результате получаем
__ Уа . g—гкоа—гФп+Га £ _ Уа . G~гкоа+гФа+Га. (1 И 62)
2 ка 2 к,а
здесь и далее индекс ’а’ "нумерует" значения функций в точке х = а.
Учитывая в (1.11.59) выражения (1.11.60) и (1.11.61), окончательно получаем
q(x) = в(_)(аО (_ ^1±У^£1е-.'ДФм) (1.11.63)
1 н V к0 + уа ко -у* )
р(х) = -0HW («ilvW'PW -
Ко + уа у* Ко )
здесь
ft, ,(-,„-1 _ |Уа| ~ к0 -1К|)Я-ДГ(д;).
ЛФ(х) = Ф(*) - Фа; ДГ(ж) = Г(х) - Гв.
Теперь рассмотрим подбарьерное рассеяние: V(x) < Е, Vx £ [а, Ь]. Пусть e±Si,2(x) _ два частных решения уравнения ОУШ для данного потенциала, причем —М = у1}2 > 0); здесь и далее верхний знак соответствует первому решению,
НИЖНИЙ - второму. Функции 1/1,2 (ж) являются решениями уравнений Риккати