Асимптотическое расщепление многомасштабных статических и квазистационарных задач термомеханики и электродинамики сплошной среды

• Автор: Тропп, Эдуард Абрамович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 322 c. : ил

ГЛАВА I. СОКРАЩЕННОЕ ОПИСАНИЕ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОМЕХАНИКИ
И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ
§ I. Методы сингулярных возмущений в задачах о тонких телах (обзор литературы)
§ 2. Основные уравнения и граничные условия
§ 3. Асимптотическое преобразование уравнений, выражающих законы сохранения
§ 4. Общая схема построения асимптотического разложения для внутренней задачи
Выводы
ГЛАВА 2. ОДНОМЕРНЫЕ И ДВУМЕРНЫЕ ТЕОРИИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ
МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 5. Анизотропная теплопроводность пластин и стержней
§ 6. Термоупругость анизотропного неоднородного
стержня
§ 7. Длинноволновые колебания анизотропных стержней
§ 8. Анизотропная "балка - струна"
§ 9. Асимптотическое решение задачи о течении в
индукционной магнитогидродинамической машине
§ 10. Осреднение в периодической задаче теории теплопроводности для пластины
Выводы
ГЛАВА 3. ПРИТОРЦЕВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
§ II. Пограничный слой в задачах теории теплопро
водности
§ 12. Пограничный слой в задачах теории упругости
для тонкого стержня
§ 13. Пограничный слой в задаче об индукционном
течении
Выводы

ШВА 4. ВНУТРЕННИЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
§ 14. Пограничный слой около линии смены типа
граничных условий
§ 15. Пограничный слой около линии смены типа граничных условий при резком изменении
коэффициентов
§ 16. Сопряжение тонких областей с существенно
различными свойствами
§ 17. Сопряжение тонких областей с близкими
свойствами
Выводы
ГЛАВА 5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ ПРИ УЧЕТЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С
ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ
§ 18. Асимптотическое описание взаимодействия
тела с внешней средой
§ 19. Асимптотика ближнего поля токонесущей
линии
§ 20. Асимптотика ближнего поля токонесущей
поверхности
§ 21. Электромагнитное поле у края индуктора
§ 22. Теплообмен излучением между коаксиальными цилиндрами
Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ. Асимптотическое преобразование упругого столкновительного члена в кинетическом уравнении для электронов
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность проблемы. При постановке и анализе задач математической физики существенную роль играет размерный анализ. В стационарных задачах он может быть сведен к нахождению величин, тлеющих размерность длины - масштабов задачи. Характерными длинами являются прежде всего размеры тела; кроме того, своими масштабами характеризуются свойства среды и связанные с ними физические явления - говорят о диффузионной длине, длине рассеяния и т.п. Многомасштабными естественно называть те математические модели и описываемые ими физические состояния, в которых характерные длины существенно различны. С этой точки зрения многомасштабными являются модели тонких тел, тел, содержащих малые включения, ребра или перемычки. К той же категории относятся модели процессов и состояний с малыш (по сравнению с размерами тела) диссипативными длинами, модели нелокальных взаимодействий с малой "длиной взаимодействия".
Среди многомасштабных задач термомеханики и электродинамики сплошной среды наибольший практический интерес вызывают те задачи, в которых возможен переход от полной трехмерной математической модели к сокращенному описанию с помощью дифференциальных уравнений меньшей размерности (одномерные и двумерные уравнения теплопроводности, уравнения теории пластин и оболочек и т.п.). Вопрос о том, как соотносятся описания на разных уровнях полноты, о степени пригодности различных моделей является классическим и тем не менее он не только не утратил своей актуальности, но в силу ряда причин выдвинулся в последние десятилетия в ряд первоочередных вопросов математической физики. Прежде всего, развитие техники, сопровождающееся появлением новых материалов,

В качестве граничного условия для уравнения (3.29) положим
Второе слагаемое в (3.27) удовлетворяет однородным уравнениям (3.21), ( 26 г= I, 2) и при выполнении соотношения (3.30) - однородным условиям (3.22) (36 = I, 2).
Первые слагаемые представлений (3.27), (3.28) служат для выделения частных решений неоднородных уравнений (3.21) с неоднородными условиями (3.22). Подставляя (3.27) и (3.28) в (3.21)
(Гп)
и (3.22), получаем задачи Неймана относительно функций /£е :
Разрешимость задач (3.31), (3.32) гарантируется соотношениями (3.24), разрешимость задач (3.29), (3.30) - соотношениями (3.25).
Последние слагаемые в формулах (3.27) и (3.28) остаются произвольными, за исключением того, что они должны удовлетворять граничным условиям
обеспечивающим вместе с (3.30) и (3.32) выполнение граничных условий (3.22).
Уравнения (3.11), (3.24) и (3.26) имеют вид одномерных законов сохранения - аналогов трехмерных универсальных уравнений (1.1)- (1.3). Представляется очевидным, что эти уравнения должны играть существенную роль в построении модели меньшей размерности.
ы = (3-30)
(т-1)
(3.31)
(3.32)