Асимптотическое поведение решений нелинейных эволюционных уравнений при больших временах

• Автор: Суханов, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 148 c. : ил

ГЛАВА I. Формальное решение уравнения КдФ

ГЛАВА II. Решение уравнения Шрединтера вдали от

резонансной точки А

§ I. Построение формального решения |

§ 2. Построение формального решения (г

Л л

§ 3. Оценки решений ? и £

§ 4. Асимптотические свойства решений $ и

ГЛАВА III. Решение уравнения Шредингера в

окрестности резонансной точки

§ I. Построение формального решения
§ 2. Поведение формального решения при 'Ц' С а) -* О
§ 3. Оценка решения
§ 4. Асимптотические свойства решения
ГЛАВА ІУ. Сращивание решении. Обратная задача

§ I. Сращивание решений и д
§ 2. Коэффициенты прохождения и отражения
§ 3. Формальная обратная задача рассеяния
§ 4. Задача Коши
Глава V. Асимптотическое поведение системы типа
КдФ при больших временах
§ I. Постановка задачи
§ 2. Данные обратной задачи
§ 3. Гипотеза о поведении решения системы типа

КдР при больших временах
§ 4. Асимптотические решения спектральной задачи
§ 5. Резонансная область
§ 6. Сращивание решений
§ 7. Обратная задача
ЛИТЕРАТУРА

В последнее время достигнут значительный прогресс в теории нелинейных уравнений в частных производных. Установлено, что нелинейные уравнения, например, уравнение Кортевега - де Фриза (Кдф), уравнение Буссинеска, нелинейное уравнение Шре-дннгера, уравнение - ОоъЫоп. и другие - являются
"интегрируемыми" уравнениями. Одной из наиболее трудных аналитических задач, возникающих в связи с этими уравнениями, является построение временных асимптотик несолитонной части решения задачи Коши. Только в 1976г в этом направлении были сделаны решающие шаги. Мы имеем в виду работу В.Е.Захарова и С.В.Манакова [I], где была на качественном уровне, т.е.без строгих оценок,решена задача нахождения асимптотики решения в физически интересной области х = 0(1) для нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Кдф и уравнения $ и не
б-охс/оп, . Далее, в работе М.Аблевича и Н.Сегура[2]
была найдена структура асимптотического разложения при t ->-=> решения уравнения Кдф без связей коэффициентов этого разложения между собой и с коэффициентами начальных данных задачи Коши. В [ 2] было выявлено также наличие ударного слоя в области х ^ ^ ) /з = О О) .В работе В.С.Буслаева и автора Г 3] результаты [1,2] для уравнения Кдф были строго обоснованы и доведены до полных асимптотических рядов. В процессе исследования установлены новые связи между асимптотическими решениями нелинейного уравнения Кдф и решениями спектрального уравнения Шредингера. Паралельно в несколько более простой ситуации в работе [&] были получены строгие результаты для нелинейного уравнения Шредингера. В дальнейшем в работах [5,6] было проведено асимптотическое исследование

летворительно приближают {г^. при Д -» °° (их невязка недостаточно быстро убывает при л -» ) и должны быть
заменены более точным приближением. Такое более точное приближение можно построить в виде
^ - г‘ К у ч--
К , = Я. * е 1 г * я* ,
ПУ11 п. *
< 4 Т. 6 »г*
л (а)
подбирая подходящим образом коэффициенты п.п. (зависящие от х- и х ) . Вычислим невязку функции *
^ ^ и, п.1 ^"и.н.'х'х ^ ух. и т' ^ 2*9 & пп.' ~
- е'^х гд->- I к(1) * е
1 -6 т. и
Г /а) п (а) ~ Г» о
Х [ + &>гхх + ип. - ь ] +
-1-Х т1 , л (•''•*) л (и.*,) ч
+ € * К ( ДКИ-' + ^МХ + а>г (г*. ).
(а)
Через Д ^ обозначены коэффициенты ряда Тейлора
• К
функции е1^ Л Й.Л в точке К=°о ( Л * п< - остаточный
член): -г.к* /V- к-4 л Са) ^ и-_и-'л
Д Рх = е ( ^+ К Л^7,
*• о < т. < п
; к у ~Ь
Голоморфность функции 6 *■ а К. ^ устанавливается несложными наблюдениями над рекуррентной процедурой, которая про-водилась при построении решения Рх.
Потребуем, чтобы коэффициенты при всех младших степенях
м гг П м 1^1
к. невязки Л п-цгЩ вплоть до К- аннулировались I. К.*0 = л 10)
ь 1 и гь х
Сх-м) Сх) 0 (х) ~ р Ст.) (2
К.