Точные решения уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости

• Автор: Мещерякова, Елена Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 92 с. : ил.

1. Инвариантные решения
1.1. Предварительные сведения
1.2. Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости и алгебра Ли
1.3. Оптимальные системы подалгебр
1.4. Точные решения, построенные с помощью оператора Капитанского
2. Частично инвариантные решения
2.1. Новый класс точных решений
2.2. Линеаризация
2.3. Движение в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси
симметрии
2.4. Задача о движении жидкости под штампом
2.5. Стационарные решения
2.6. Автомодельные решения
3. Решения, построенные на основе частично инвариантных
3.1. Построение решения на основе частично инвариантного
3.2. Начально-краевая задача для гиперболического уравнения
3.3. Обобщенная задача Гурса
Заключение
Приложения
Список литературы

Вращательно-симметричные движения жидкости представляют большой интерес в связи с возможностью описать на их основе катастрофические явления в природе, такие как водовороты, смерчи, торнадо, циклонические вихри, а также использовать их в вихревых технологиях (сепараторы, циклоны-пылеуловители и др.) и при проектировании гидроэнергетических установок. Плодотворные исследования этих природных явлений и моделирование технологических процессов выполняются на основе модели идеальной несжимаемой жидкости [14].
Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости доказаны глобальные теоремы существования и единственности решений основных задач, таких как задача Коши и задача протекания, в то время как в случае вращательной симметрии до сих пор имеются только локальные результаты. Поэтому важно иметь широкий набор точных решений этих уравнений. Точные решения можно использовать для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, тестирования численных методов. Они часто отражают асимптотику и позволяют исследовать качественные свойства системы.
Один из наиболее мощных и универсальных методов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными - это групповой анализ дифференциальных уравнений, разработанный С. Ли и Э. Нётер, и развитый в 60-80 гг. XX века в работах Г. Биркгофа [5], Л.В. Овсянникова [6,7], Н.Х. Ибрагимова [8], П. Олвера [9], и других ученых. Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений, является поиск непрерывных групп симметрии системы дифференциальных уравнений, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнения инвариантными. Далее вычисляются комбинации независимых и зависимых
переменных, не меняющиеся при групповых преобразованиях - инварианты группы симметрии системы, которые выбираются в качестве новых переменных. Такая процедура приводит к понижению размерности системы уравнений, а в некоторых случаях - к понижению ее порядка или к разделению переменных.
Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Различные примеры точных решений моделей механики сплошных сред можно найти в работах Л.В. Овсянникова, В.К. Андреева, О.И. Богоявленского, С.В. Головина, О.В. Капцова, С.В. Мелешко, П. Олвера, В.В. Пухначева, К. Роджерса, В.И. Фущича, С.В. Хабирова, A.A. Чеснокова, А.П. Чупахина и других авторов.
Цель работы заключается в изучении групповых свойств модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, интегрировании редуцированных систем уравнений, построении новых точных решений и их физической интерпретации. В работе используется техника группового анализа, методы общей теории дифференциальных уравнений, а также численное моделирование.
В диссертации представлены три класса точных решений: инвариантные решения, полученные с использованием оператора Л.В. Капитанского [10], частично инвариантные решения и решения, построенные с помощью частично инвариантных.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты.
• Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря). Построены одно- и двумерные оптимальные системы
Введем лагранжевы координаты. Для этого рассмотрим задачу Коши
с1г _ кг д ~Ж ~~2(1 +к) + ~г ’
(2.38)
сіг кг
Л 1+кі’
где г = 7 и г = £ при (= 0. Интегрируя систему (2.38), получим
г = £(і + кі), г2=(і + кі)1 д2+2^(1 +кт)д(т)сіт
(2.39)

Полагая С,, ?/ константами, получим уравнения материальных
поверхностей. Условия непротекания при г = 0 и г = г0 (1 + к() выполняются автоматически. Полагая т] = г0, получим материальную цилиндрическую поверхность, определяемую вторым уравнением в (2.39). Таким образом, характеристики уравнения (2.37) имеют вид
Рассмотрим задачу, когда функция д знакопеременна, т.е. сначала имеет место источник, а затем сток и наоборот. В (2.40) сначала положим ^(г) = 1-г2, а затем д(і) = -1. Тогда уравнения характеристик примут вид
г2(т,т1,і) = (+кі)~1 ??2+2|(1 + кд)д(д)с!д
(2.40)

2 (г, 7,/)
6г/2-Зк^4 -г4)-4/3 +4г3 +6к{і2 -т2) + 12(/-г)
(2.41)