Плоские автомодельные задачи динамики деформирования

• Автор: Потянихин, Дмитрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Основные уравнения модели нелинейной динамической теории упругости
1.1 Кинематические соотношения, законы сохранения
1.2 Соотношения в разрывах на ударных волнах и волнах ускорений
1.3 Ударные волны в условиях плоской деформации
2 Плоские автомодельные задачи об отражении ударной волны от границы нелинейно упругого полупространства
2.1 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от жесткой стенки
2.2 Задача об отражении плоской продольной ударной волны от свободной границы
3 Плоские автомодельные задачи о соударении упругих тел
3.1 Задача о косом ударе жестким телом по упругому полупространству
3.2 Задача о соударении двух нелинейно упругих полупространств
Заключение. Основные результаты
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Автомодельные задачи с математической точки зрения оказываются простейшими среди существенно нестационарных задач динамики сплошных сред. Как правило, в различных разделах механики именно автомодельные задачи удается решить в первую очередь. В газовой динамике такие решения давно стали достоянием учебников. Динамика деформирования твердых тел обратилась к таким задачам существенно позже. Это обусловлено двумя основными причинами. Первая из них заключается в том, что механика деформируемых твердых тел долгое время развивалась в качестве линейной теории, в отличие от газовой динамики, в которой изначально за основу была взята нелинейная математическая модель. Вторая и главная причина заключается в том, что в деформируемых средах наряду с деформациями изменения объема необходимо возникают и распространяются по среде деформации изменения формы. При учете в динамике таких сред их нелинейных свойств оказалось, что процессы распространения деформаций изменения объема и формы неразделимы, и взаимодействие их является качественным нелинейным эффектом, влияющим уже на постановочную часть динамических задач.
Интерес исследователей к построению нелинейных математических моделей динамической теории упругости возник во второй половине XX века в связи с развитием математического аппарата: появились методы решения систем квазилинейных уравнений [28, 68, 76, 77], эволюционных уравнений [70, 100], совершенствовались модификации метода возмущений [9,
51, 65]. Другой предпосылкой для развития исследований в нелинейной динамике деформирования твердых тел стало появление вычислительной техники и, как следствие, бурное развитие численных методов.
Необходимо отметить вклад в создание нелинейной теории В.В. Новожилова [67], Ф.Д. Мурнагана [103], Л.И. Седова [81, 82], М.А. Био [97], В. Прагера [75], Г. Каудерера [47], А.Е. Грина и Дж. Адкинса [33], И.И. Гольденблата [32], А. Синьорини [105], P.C. Ривлина [104], Д. Бленда [8], Л.А. Толоконникова [84], К.Ф. Черных [89, 90], А.Н. Гузя [34, 35], С.К. Годунова [31], У.К. Нигула [66].
Распространение ударных волн в деформируемых телах является существенно нелинейным процессом. С середины 60-х годов прошлого века появились работы, посвященные изучению распространения ударных волн (волн сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов [8, 11, 16, 17, 52, 53, 60, 61, 79, 86, 87, 98, 99, 108-110]. Теорию распространения плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах можно считать практически завершенной областью математической физики. Основная заслуга здесь принадлежит А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [53, 52], Э.В. Ленскому [59-62], Т. Тингу [106]. А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова провели замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучили условия эволюционнос-ти разрывов на плоскости. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в упругой среде на примере плоских волн в адиабатическом приближении при линеаризации определяющей системы уравнений.

Подставляя в (2.1)-(2.7) тривиальное решение уравнения движения (2.11), получим для параметров напряженно-деформированного состояния и движения следующие соотношения:
■Ы-1,1 = Ь, «1,2 = а, «2,1 = /, «2,2 — е,
—Ба —Б(е — Ье + а/)
«1 = 71 ГС77 ; ^
(2.12)
1 (1 — Ь)(1 — е) — а/’ 2 (1-6)(1-е)-а/’
«;! = 0, «72 — 0,
— = (! - г>)(1 - е) - а/,

ап = Ь~ {Ь2 + /2) , агг = ^ (« + / - аЬ - е/),
«22 = в — ^ + е2) '
Ненулевые компоненты тензора напряжений примут вид:
«и = ((1 - Ь){ 1 - е) - а/) ^(А + 2д) (ь - & ) + А - ° ^
/ 62 ч- /-2
+ (—2А — 4д + 3{ус + у + т/)) I 6 — ——— ) + (—8/2 + 2х + 37/)х
/« + / аЬ + е/2 0 . / а2 + е2.
х —у + (х + 3*)^е-----д—,) -2(Л~^-Зх)х
Л Ъ2 + /2Г а2 + е2 я. ./ Ь2 + /2
Х ( 2 ) V 2 ) — 6(>!Г + X + т?) (б ^ ) -
-4(*+ад (»- Ц£)'(. - 2(.+ад X
хГб-ВДГ.-г^У-брх+адГь-ад,
х (£+1 _£*+£/)’_4(2«+3,) (е-4е2'1 ^+ аЬ + е/