Моделирование нелинейных деформаций тонких тел

• Автор: Шкутин, Леонид Иванович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 166 с. : ил

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 ВЫДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ ПОВОРОТОВ
В ДЕФОРМИРУЕМОМ КОНТИНУУМЕ КОШИ
1.1 Начальное и мгновенное состояния
деформируемого континуума
1.2 Преобразование виртуальной работы напряжений
1.3 Уравнения нелинейной деформации континуума
1.4 Малые нелинейные деформации континуума Коши
1.5 Комментарии и выводы
2 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЕОБРАЗНОГО ТЕЛА
С НЕЗАВИСИМЫМ ПОЛЕМ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
2.1 Начальное и мгновенное состояния стержня
2.2 Нелинейная формулировка модели деформации стержня .
2.3 Инкрементальная формзлировка нелинейной модели деформации стержня
2.4 Комментарии и выводы
3 МОДЕЛЬ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКООБРАЗНОГО ТЕЛА
С НЕЗАВИСИМЫМ ПОЛЕМ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
3.1 Начальное и мгновенное состояния оболочки
3.2 Нелинейная формулировка модели деформации оболочки .
3.3 Инкрементальная формулировка модели
3.4 Комментарии и выводы
4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ СТЕРЖНЕЙ
4.1 Нелинейные уравнения плоской деформации стержня
4.2 Численный анализ нелинейных деформаций прямых стержней
4.3 Численный анализ нелинейных деформаций круговых арок
4.4 Комментарии и выводы
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ОБОЛОЧЕК
5.1 Нелинейные уравнения осесимметричной деформации оболочки
5.2 Численный анализ осесимметричных форм изгиба куполообразных оболочек
5.3 Комментарии и выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Под топким телом понимается такое материальное тело, у которого хотя бы один размер мал по сравнению с другим. Этот термин объединяет оболочкообразные и стержнеобразные тела. Оболочкообразпое тело — это тело, тонкое в одном направлении, стержнеобразное — в двух направлениях. Первая группа тонких тел включает в себя оболочки, пластины и тонкостенные стержни, вторая — прямолинейные и криволинейные стержни с жесткими поперечными сечениями. Отличительное свойство тонкого тела —- малая изгибная жесткость в направлении малого размера. Оно способно сильно изгибаться под нагрузкой, т.е. претерпевать деформацию с большим градиентом перемещений материальных точек.
Геометрические особенности тонких тел были использованы для построения специальных математических моделей их деформирования, отличных от классической модели Коши. В соответствующей научной литературе можно различить два метода построения нелинейных моделей деформации тонких тел — аксиоматический и аппроксимационный. Первый с самого начала трактует оболочку как материальную поверхность (двумерный объект), стержень — как материальную линию (одномерный объект) и устанавливает законы их деформирования под действием локальных внутренних и внешних сил, наделяя каждую оснащенную точку объекта не только позиционными (как в модели Коши), но и ориентационными степенями свободы. Во втором, аппроксимационном методе оболочка и стержень — трехмерные деформируемые объекты Коши. Уменьшение размерности достигается той или иной аппроксимацией объемного ноля перемещений по тонким направлениям и применением метода моментов. Оба метода в результате дают моментпые модели деформации тонких тел, определенные в пространстве меньшего числа измерений, чем физическое. Оболочкообразным телам ставятся в соответствие двумерные модели деформации, стержнеобразным — одномерные.
Аксиоматический метод игнорирует пространственную структуру оболочки по толщине, стержня — по сечению и не дает сам по себе теоретических правил построения моментных определяющих уравнений и восстановления полей деформаций и напряжений в объеме тела. Указанные неопределенности раскрывает аппроксимационный метод. Включая в себя процедуру усреднения динамических уравнений по тонким направлениям, он выявляет обобщенный характер моделей деформации

Приближенные равенства (4.2) демонстрируют коренное отличие тензора деформации ¥о от градиента перемещения У'уу . Как известно, тензор Г связан с Улу зависимостями [4]
2 Г = Уу + Уу + Улу • , (4.3)
2Ти = VIWJ + VJWI + gKL VrwкVJWL,
где V/ — оператор ковариантного дифференцирования по £/ , гц/ — компоненты вектора перемещения в начальном базисе. В отличие от (4.2), линеаризация зависимостей (4.3) возможна лишь при малых значениях градиента и, следовательно, при малых поворотах.
Обращаясь к выражению (3.8) для виртуальной работы напряжений, заметим, что, согласно (3.2), g^ = + w^ . Поэтому в рамках ограниче-
ния (4.1) справедлива приближенная формула
Дш и -г1 • (д/^+ + gJ х 6ш). (4.4)
Из равенств (2.1) и (3.9) получаем при этом модифицированную по отношению к (3.10) формулировку динамических уравнений:
д-'д^дг1) + Ґ = 0 , z^xgJ^ïO. (4.5)
Второе из них утверждает симметрию компонент тензора напряжения Z в двойном базисе g/gJ : Я'11 & К.
В свою очередь, из (3.20) следуют приближенные соотношения
= ги & Т,и, (4.6)
которые не только подтверждают симметрию компонент но в рамках ограничения (4.1) отождествляют тензор напряжения с симметричным тензором Пиола - Кирхгофа. Однако тензоры Z и Е не совпадают, ибо их компоненты Ки и Т,и отнесены к разным базисам.