Моделирование динамики составных пороупругих тел на основе метода гранично-временных элементов

• Автор: Петров, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 135 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Постановки задач, метод и методика решения
1.1. Теория Био
1.1.1. Сжимаемая модель
1.1.2. Несжимаемая модель
1.1.3. Упрощенная модель
1.2. Постановка краевой задачи пороупругой динамики
1.2.1. Шаговая схема численного обращения преобразования Лапласа
1.3. Граничное интегральное уравнение
1.4. Моделирование медленной волны в одномерном случае
Глава II. Методика гранично-элементного моделирования
2.1. Гранично-элементная дискретизация
2.2. Программная реализация
2.3. Задача о действии силы на торец однородного пороупругого тела
2.4. Задача о действии силы на торец составного пороупругого тела
Глава III. Гранично-элементное моделирование поверхностных волн
3.1. Задача о действии вертикальной силы на дневную поверхность пороупругого полупространства
3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного под площадкой приложения силы сферической или кубической полостью
3.3. Задачи о действии давления внутри сферической полости, расположенной в пороупругом полупространстве
3.4. Задачи о действии давления внутри кубической полости, расположенной в пороупругом полупространстве
3.5. Задача о действии вертикальной силы на пороупругое тело, взаимодействующее с пороупругим полупространством
3.6. Задача о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность двухслойного пороупругого полупространства
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
В работе изложен подход и дан анализ распространения волн в пороупругих телах. Рассматриваются однородные и неоднородные пороупругие тела. В качестве модели неоднородности выбраны кусочно-однородные (составные) тела. Возникающие краевые динамические задачи решаются методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Для компьютерного моделирования решений ГИУ применяется метод граничных элементов (МГЭ). Ключевыми преимуществами подхода являются его численно-аналитический характер, относительная произвольность форм граничных поверхностей (ляпуновского типа) и то, что при рассмотрении нестационарных процессов в полубесконечных телах условия поведения на бесконечности выполняются автоматически. Высокая точность, достигаемая в подходе - требование рассматриваемого класса задач. Из активно работающих ученых, внесших заметный вклад в развитие интегрального метода применительно к задачам механики деформируемого твердого тела отметим Б.Д.Анина, В.А.Бабешко, А.О.Ватульяна, Е.В.Глушкова, Р.В.Гольдштейна, И.Г.Горячеву, Л.А.Игумнова, В.В.Калинчука, Н.Ф.Морозова [75], О.Д.Пряхину [31],
A.Н.Соловьева, М.А.Сумбатяна и др.
Численно-аналитические исследования опираются на математическую теорию Био пороупругой среды. Модель пороупругой среды, описывающей волновые процессы, сформулирована в работах Я.И.Френкеля (1944) и М.Био (1956). Помимо работ чаще всего цитируемых в соответствующих обзорах по распространению волн в пороупругих телах и средах, отметим работы следующих авторов: A.A.Губайдуллин, А.О.Ватульян,
B.И.Ерофеев [10], Л.А.Игумнов, Л.Б.Маслов, В.Н.Николаевский, Д.В.Тарлаковский [35], Н.Antes, М.Schanz, L.Banjai [96, 97], В.Albers [91], M.Nenning [180, 181], T.Rüberg [196], P.Urthaler [219], P.Li [161, 162] и др. Теория Био позволяет описать ключевой процесс -существование в пористой среде третьей волны. Роль такой волны наиболее ясно проявляется в случае большой сжимаемости среды. В естественных пористых средах трудности обнаружения медленной волны связаны с тем, что она имеет существенно меньшую амплитуду, чем быстрая продольная волна. Можно показать, что теория Био является частным случаем линеаризованной теории смесей [112, 206]. Подходы совпадают для случая несжимаемых составляющих, если пренебречь мнимой плотностью массы, хотя по-разному моделирую т взаимодействие твердого тела и текучей среды. Роль теории Био только возрастает [127, 128, 154, 158, 166, 167, 182]. К настоящему времени установлено, что теория Био качественно и количественно правильно предсказывает характеристики всех трех типов волн.

В контексте выполненной работы отметим, что применение теории Био позволяет решить ряд частных задач. Так в [138] рассмотрена задача о действии скорости в виде функции Хэвисайда на полубесконечный столб грунта. Эго решение численно исследовано в [147] и сопоставлено с одномерным КЭ-решением в [146]. Решение в частотной области для конечного одномерного столба, нагруженного торцевой силой и давлением в порах, приведено в [119, 120] в сравнении с ГЭ-решением. В [123-125] выведено аналитическое одномерное решение для полу бесконечно длинного столба с несжимаемыми составляющими. Решение задачи о действии ударной силы на одномерный столб при шаговом нагружении можно найти в [203]. Это решение использует метод квадратур сверток. Распространение решения на поровязкоупругий случай дано в [205]. Особенностью этого одномерного решения является тот факт, что оно позволяет отслеживать прохождение быстрой и медленной волн сжатия, в то время как на других аналитических решениях [123-125, 221-223, 142-144] не удается это
проанализировать.
В работах Губайдуллина A.A. [39], Губайдуллина A.A., Болдырева О.Ю. [37, 38], Якубова С.Х. [88, 89] рассматриваются плоские линейные монохроматические волны в насыщенных пористых средах. Установлено, что затухание таких волн определяется не только межфазным трением, но и диссипацией из-за межзеренного трения в твердой фазе. В работах Галиева Ш.У., [32], Салиева A.A. [81, 82], Трофимчука А.Н. [84, 85] рассматриваются закономерности взаимодействия фаз в среде, состоящей из упруго-пористого твердого скелета [225], насыщенного жидкостью и рассматриваются изменения продольных и поперечных волн в процессе их распространения. В работах Келбалиева Г.И. [66], Масликовой Т.Н., Поленова B.C. [71-73] дано математическое описание нестационарных процессов, протекающих в изотропных пористых средах. В работах Белянковой Т.П., Калинчука В.В. [98], Diebels’a S., Ehlers’a W. [131] рассматриваются теория Био и подходы других авторов. Из анализа подходов установлены соответствия между принятыми в них обозначениями величин. В рамках теории Био рассматривается динамическая задача. Дано краткое обсуждение теории динамики пористой насыщенной среды.
Одно из первых исследований двумерной задачи о возмущении пороупругого полупространства можно найти соответственно в [140, 141, 183-185]. Серия работ по этой задаче, но с различными нагрузками были опубликованы в [149-153]. В [226] получено решение для заглубленного жесткого диска. В [165] исследованы поверхностные смещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия или сдвига при допущении о невязкой текучей среде.

На рис. 2-11 представлены аналитическое решение для перемещения, давления и потока в точке А (/1=1,5м). На рис. 2, 3 приведены результаты исследования сходимости шагового метода численного обращения преобразования Лапласа в точке А на примере порового давления и потока. На рис. 4-6 приведено сравнение численных результатов для порового давления посчитанных по шаговому методу и методу Дурбина с аналитическим решением при различных значений коэффициента проницаемости материала. На рис. 7-9 приведено сравнение численных результатов для потока посчитанных по шаговому методу и методу Дурбина с аналитическим решением при различных значений коэффициента проницаемости материала. На рис. 10, 11 представлено численное исследование влияния изменения коэффициента проницаемости на отклики порового давления и потока в точке А.
Коэффициент проницаемости к = 1.9-10“
Параметры шагового метода
1=2000, N=2000,
Д/=0,25 10'4;
1=2000, N=1000,
Д/=0,5 10‘4;
1=2000, N=500, Дг= 10'4.
0 1 2 3 4
'.с х 10'!

Коэффициент проницаемости к =1.9
Параметры шагового метода
1=2000, N=2000,
ДМ),25 10'4;
1=2000, N=1000,
Дг=0,5 10'4;
1=2000, N=500, Д/=10'4.
0 1 2 3 4
'.с х 10°

х 10'