Моделирование больших деформаций гиперупругих тел на основе модели материала Генки

• Автор: Олейников, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Комсомольск-на-Амуре
• Количество страниц: 129 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Необходимые сведения из тензорного исчисления и кинематики больших деформаций
1.1 Определение тензора
1.2 Операции с тензорами
1.3 Инварианты и разложение тензора
1.4 Спектральные представления симметричных тензоров второго ранга
1.5 Собственные проекции симметричных тензоров
1.6 Ковариаитпое дифференцирование тензора
1.7 Градиент тензора
1.8 Характеристики локальной деформации тела
1.9 Базовая кинематика
2 Уравнения движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки
2.1 Определяющие соотношения гиперупругого материала Генки
2.2 Тензор упругости для материала Генки
2.3 Сильная и слабая формулировки уравнений динамического движения
2.4 Сильная и вариационная формулировки уравнений квазистатического движения
3 Применение метода конечных элементов к решению уравнений движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки
3.1 Копечно-элемеитпая аппроксимация уравнений движения изотропной ги-
перупругой среды Генки

Оглавление
3.2 Матрицы и векторы конечных элементов
3.3 Введение модели изотропного гиперупругого материала Генки в пакет MSC.Marc
3.4 Примеры численных расчетов
3.4.1 Задача о растяжении куба
3.4.2 Задача о простом сдвиге
3.4.3 Растяжение стержня заданным перемещением торца
3.4.4 Выпучивание сжатого стержня
4 Кручение упругих стержней при больших деформациях
4.1 Одноосное деформирование плоских образцов
4.2 Кручение стержня со стесненными торцами
4.3 Кручение стержня со свободными торцами
Заключение
Список литературы

Введение
Эластомеры, благодаря своим уникальным свойствам, обусловленным молекулярной структурой данных материалов, широко используются в технике. Известно (см., например, [34, 49, 54, 56, 84, 89]), что эластомеры могут претерпевать большие деформации (несколько сотен процентов) без разрушения и повреждения структуры материала. Широкое использование эластомеров в автомобильной, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства требует тщательного исследования их деформативных и прочностных свойств, а также оценки несущей способности конструкций из материалов типа эластомеров, включая оценку устойчивости этих конструкций при действии сжимающих нагрузок. В настоящее время конструкторы, создающие изделия из новых материалов, все более широко используют методы математического моделирования для оценки работоспособности этих изделий при действии па них типовых нагрузок. В связи с развитием вычислительной техники и современных численных методов (в первую очередь метода конечных элементов), в математическом моделировании поведения создаваемых конструкций из новых материалов все более значимым и актуальным становится компьютерное моделирование конструкций, подвергающихся внешним воздействиям различного типа. Потребность в компьютерном моделировании процессов деформирования тел и конструкций из эластомеров стимулирует развитие теории больших деформаций гиперупругих тел, создание алгоритмов численных решений уравнений гиперупругости и их программную реализацию.
Основные положения теории гиперупругости в настоящее время достаточно хорошо разработаны и представлены, например, в [9, 17, 19, 25, 32, 43, 44, 52, 69, 75, 82, 83, 104, 113, 118, 122, 127, 130]. Однако еще ждут своего решения задачи поиска форм записи уравнений с точки зрения эффективности их использования в приложениях.
Важным моментом при формулировании определяющих соотношений гиперупругости является конструирование скалярной функции удельной энергии деформаций такой, для

1.8. Характеристики локальной деформации тела
1.8 Характеристики локальной деформации тела
Рассмотрим движение тела 23 в трехмерном евклидовом точечном пространстве £. Пусть X и х обозначают радиус-векторы некоторой материальной точки Р в отсчетной (неподвижной) и текущей (двигающейся) конфигурациях соответственно. Мы предполагаем, что преобразование отсчетной конфигурации в текущую конфигурацию описывается законом движения — непрерывной векторной функцией с требуемыми условиями гладкости (хотя бы С2 от t [124])
х = х(Х, t) : х(Х, t0) = X (1.57)
при выполнении условия
О < J(= detP) < оо V t > to- (1.58)
Здесь и далее F = Gradx = дх/дХ. 6 Т2* — тензор градиента деформации, t — монотонно возрастающий параметр деформирования (для краткости далее называем этот параметр временем), t0 — значение параметра t, соответствующее отсчетной конфигурации тела 23 [9]. По теореме о полярном разложении (см., например, [43, 83, 118, 130]) тензор F Е Т2+ может быть представлен единственным образом в виде
F = RU = VR (U, VS 7^++, R 6 -Ch), (1.59)
где U и V — соответственно, правый и левый тензоры искажения, R — тензор ротации (здесь и далее 7^,+ С 7"2+ обозначает совокупность всех симметричных положительно определенных тензоров второго порядка). Отметим, что, в силу предположения х(Х, f) 6 С2 от t, отсюда следует, что F, R, U, V € С1 от t (см. [124]).
Рассмотрим евклидовы преобразования [94, 95, 96, 118]
x*(X*,t*) = Q(t)-x(X,t) + c(t), X* = Qo ■ X + с0, t*=t + a, (1.60)
где Q(t) S — произвольный тензор, c(t) — произвольный вектор и а Е R — произвольное число (Qo = Q(to) и Со = c(to)). Следуя [118], дадим определение объективных тензоров.
Определение. Тензоры Н 6 Т2 и С е Т4 называются объективными эйлеровыми или объективными лагранжевыми (эйлеровыми или лагранжевыми) тензорами, если при