Контактные задачи теории упругости для тел с криволинейными границами и их приложения

• Автор: Теплый, Мирослав Иосифович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Львов
• Количество страниц: 436 c. : ил

ПРЕДИСЛОВИЕ
"Основными направлениями экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года", утвержденными ХХУ1 съездом КПСС, предусмотрено дальнейшее развитие науки и ускорение технического прогресса, внедрение научных разработок в производство. В частности, ставится задача повысить качество, надёжность, экономичность и продуктивность машин, оборудования и других изделий машиностроения, снизить их материалоёмкость; указывается также на необходимость развивать математическую теорию, повышать эффективность её использования в прикладных целях.
Одной из первоочередных задач современного машиностроения является повышение надёжности и долговечности машин и приборов. Её решение в значительной степени обусловлено дальнейшим совершенствованием методов расчета на прочность деталей машин и элементов инженерных сооружений, применением новых материалов, прогрессивных технологий и др.
В этом плане представляется важным обеспечение высокой надёжности и долговечности подшипников, шарнирно-болтовых соединений, зубчатых передач, фрикционных и кулачковых механизмов, тормозных устройств и др., в которых конструктивно предусмотрено сопряжение деталей. Недостаточная контактная прочность последних, определяющая в большинстве случаев прочность соединения, узла, снижает эксплуатационные возможности машин, приборов и аппаратов.
Одной из основных задач при проектировании инженерных конструкций является определение полей напряжений и деформаций в их элементах заданной формы и размеров, а также создание на основе соответствующих исследований новых, более экономичных конструктивных форм.

Исходными при исследовании напряжений и деформаций в деталях машин и элементах инженерных сооружений являются решения контактных задач теории упругости, принадлежащих к числу актуальных научных проблем механики деформируемого твердого тела. Разработке методов решения контактных задач и анализу распределения напряжений в конкретных случаях сжатия твердых тел посвящено большое количество работ советских и зарубежных авторов. Советским ученым принадлежит заслуга обобщения и дальнейшего развития теории сжатия упругих тел, начало которой было положено Герцем. Обстоятельный обзор работ по контактным задачам, выполненным до 1972 года, содержится в труде "Развитие теории контактных задач в СССР" /"Наука", 1976; под ред. Л.А.Галина/.
Существенное научное и практическое значение имеет решение контактных задач теории упругости для случаев, когда область контакта соизмерима с радиусами кривизн поверхностей соприкасающихся тел. Такое явление имеет место, например, в подшипниках скольжения, шарнирно-болтовых соединениях, тормозных устройствах, соединениях с натягом и др. В этом случае известная гипотеза Герца о малости области контакта не имеет места, задачи становятся неклассическими и значительно усложняются в математическом плане.
Рассмотрение задач о сжатии упругих тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями близких радиусов, было начато в работах И.Я.Штаермана и М.З.Народецкого. Важный вклад в разработку новых подходов к решению таких задач внесли в 50-е годы Д.В.Гри-лицкий, А.И.Каландия, В.В.Панасюк, М.П.Шереметьев. В работах упомянутых авторов на основе метода теории функций комплексного переменного изучается распределение контактных напряжений при сжатии идеально гладких односвязных тел /неограниченная пластина с круговым отверстием, круговой диск/, предложены различные способы сведения контактных задач к интегральным уравнениям, указа-

ны методы приближённого решения этих уравнений.
Вместе с тем, развитие новой техники ставит перед наукой о прочности , в том числе перед механикой деформируемого твёрдого тела, новые проблемы и задачи, решение которых необходимо для совершенствования методов расчёта деталей машин и элементов инженерных сооружений на прочность, жёсткость, долговечность.
В связи с этим дальнейшее развитие теории контактных задач для упругих тел с криволинейными поверхностями шло в направлении их усложнения: учитывались такие факторы, как трение, шероховатость, износ. При этом получены важные для инженерной практики решения, имеющие непосредственное применение в расчётной практике и конструировании для различных отраслей техники. Обобщение и систематизация результатов теоретических и экспериментальных исследований по рассматриваемой научной проблеме сделано в книгах [2.57, 2.69, 2.83]
Целью настоящей работы является обобщение и развитие методов решения плоских контактных задач теории упругости для изотропных тел, ограниченных криволинейными поверхностями, приведение различных технических задач к основным краевым задачам теории функций и получение их эффективных решений, использование результатов этих решений для разработки инженерных методик расчёта на прочность, жёсткость и долговечность характерных соединений и узлов машин.
В работе на основе метода теории функций комплексного переменного рассмотрены новые контактные задачи для упругих односвязных и двусвязных тел, в том числе составных, с учётом вида посадки сопряжённых поверхностей, шероховатости, трения, износа, реального загружения контактирующих тел. При этом используется единый подход к решению краевых задач, состоящий в сведении этих задач к сингулярным интегральным уравнениям с последующим их приближённым решениям. Такой подход является наиболее эффективным и удоб-

1.4. Компоненты вектора перемещения в полярных координатах
Из формул (1.7) и (1.8) следует, что кривизна деформированного контура может быть определена, если известны радиальные перемещения точек этого контура. Компоненты вектора перемещения V) и V) в полярной системе координат У* , оС выражаются через функции комплексного переменного £= ‘формулой
(1.14). Продифференцировав эту формулу дважды по , а затем сложив полученное выражение с (1.14), найдём
2&£(тГг + 1Гу!';+1(1& + т£У]=111{2еГ Фа)-2 С0Ф1-ФФ+
+ фТг,7 *з§-угЮ + ^ (1.41)
где Уф = ; У~ы."= а2Кё,/2
Функция выражается через функцию ф(£) при помощи соотношения [2.53]
Уш - ф фа) + ф Ф(ф- -£ Ф'&- а .42)
С учётом (1.42) выражение (1.41) после несложных преобразований принимает вид
1/г + К+ г № + V*7= { / ■£ Фф- фф Ф'ф*Стг
+(£- ф Ф'&) / **(■/- Ф"Ф}
ТЫ*) '1' (1.43)
Найдём сумму компонентов 1/^ и V) и их вторых производных для контура кругового отверстия радиуса /, = /f в пластине Si (рис. 1.6), когда на части / этого контура действуют радиальные (5V.=//h касательные ^-^напряжения. Для этого в формуле (1.43) устремим і ( III 7 % ) к контуру отверстия в области S1