Исследование плоской задачи нелинейной упругости

• Автор: Бондарь, Василий Денисович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 275 c. : ил

Глава I. Постановка статической задачи нелинейной упругости при плоской деформации
§ I. Общая характеристика нелинейной упругости
§ 2. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного
состояния
I.Соотношения пространственной задачи. 2.Соотношения плоской задачи. 3.Представления деформаций через напряжения.
§ 3. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в декартовых координатах деформированного состояния
I.Представления в декартовых координатах скалярных, векторных и тензорных величин. 2.Соотношения плоской задачи в декартовых координатах.
§ 4. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в комплексных координатах деформированного
состояния
I.Представления в комплексных координатах скалярных, векторных и тензорных величин. 2.Соотношения плоской задачи в комплексных координатах.
§ 5. Условия эллиптичное ти уравнений равновесия нелинейной упругости при плоской деформации
I.Достаточные условия эллиптичности. 2.Достаточные условия эллиптичности для изотропного материала.

§ 6. Плоская задача нелинейной.упругости в перемещениях
и в напряжениях
I.Задача в перемещениях. 2.Задача в напряжениях.
3.Задача для функции напряжений.
Глава 2.Плоская деформация в нелинейной упругости при линейных связях напряжений с деформациями
§ 7. Плоская деформация при линейной зависимости деформаций от напряжений
I.Материалы с линейной зависимостью деформаций от напряжений. 2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния.
3.Задача в напряжениях в декартовых координатах и её исследование. 4.Задача в напряжениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов.
5.Представление перемещений через потенциалы. 6.Исследование потенциалов. 7. Решение краевых задач для потенциалов. 8.Всестороннее растяжение плоскости с отверстием.
§ 8. Плоская деформация при линейной зависимости напряжений от деформаций
I.Материалы с линейной зависимостью напряжений от деформаций. 2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния. 3.Задача в перемещениях в декартовых координатах и её исследование. 4.Задача в перемещениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов.
5.Исследование потенциалов. 6.Решение краевых задач для потенциалов. 7.Деформация плоскости с отверстием при заданном смещении границы.

Глава 3. Плоская деформация в нелинейной упругости при малых поворотах, превышающих малые удлинения-сдвиги
§ 9. Соотношения нелинейной упругости при ограничениях
на характеристики плоской деформации
I.Исходные допущения. 2.Соотношения плоской задачи в различных координатах деформированного состояния.
§ 10. Задача о плоской деформации материала в перемещениях
I.Уравнения равновесия в перемещениях в декартовых координатах и их исследование. 2.Уравнения равновесия в перемещениях в комплексных координатах и их интегрирование.
§ II. Задача о плоской деформации материала в напряжениях и поворотах
I,.Уравнения равновесия в напряжениях и поворотах в декартовых координатах и их исследование. 2.Уравнения в напряжениях и поворотах в комплексных координатах и их интегрирование. 3.Определение перемещений. 4.Формулировка задачи в терминах поворота и функции напряжений. 5.Динамическое условие совпадения данного варианта нелинейной упругости с линейной упругостью.
§ 12. Краевые задачи для потенциалов
I.Исследование потенциалов. 2.Краевые задачи для односвязных областей. 3.Краевая задача для единичного круга. 4.Решение краевой задачи методом Ньютона-Канторовича
Отсюда и из определения ковариантных и контравариантных компонентов метрического тензора в координатах £1 , %2 , :
п гъ1 ъ-2. дг 1 /--З)
вке(ї,ї з )-—~е,
видно, что эти компоненты будут следующими функциями координат
^Оі)3 ^ > $2) і ^ЗК &кз — $к >
аыР=сґЬііє*), взк
(2.13)
где $е - символ Кронеккера. Здесь и далее принимается, что к
греческий индекс пробегает ряд 1,2. Таким образом, в системе координат £1 , £2 , £3 матрицы ковариантных и контравариантных компонентов метрического тензора имеют специальную структуру; для последней из них и её двумерной части будем использовать обозначения

О12 0 $12
а2г О22 О > 6*= а21 о22
О 0 1
(2.14)
Из формул (2.II) и (2.13) вытекает, что в координатах |7 |2 , I"3 обращаются в нуль все символы Кристофере ля, содержащие среда своих индексов тройку, а остальные из них являются функциями первых двух координат