Динамические смешанные задачи для слоистых пьезоэлектриков

• Автор: Качко, Дмитрий Львович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 141 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Общие положения линейной теории электроупругости
1.1 Основные соотношения и уравнения
1.2 Граничные условия
1.3 Плоская задача для электроупругого слоя
1.4 Антиплоская задача для электроупругого слоя
2 Динамические задачи для слоистых пьезоэлектриков с внутренними
электродами
2.1 Постановка задачи
2.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений
2.3 Переход к смешанной задаче. Вывод системы интегральных уравнений
2.4 Метод фиктивного поглощения для одного уравнения
3 Сдвиговые колебания биморфного пьезоэлемента
3.1 Колебания двухслойной электроупругой среды при наличии внутреннего электрода
3.2 Аналитическое представление элементов матриц-символов
Грина
3.3 Решение антиплоской задачи в случае непроводящей
поверхности
4 Особенности колебаний слоистых сред с внутренними электродами
4.1 Построение дисперсионных кривых
4.2 Численный анализ решения интегрального уравнения антиплоской задачи
Заключение
Список использованных источников
Приложение А
Приложение Б
Приложение В

Введение
В настоящее время интерес к механике связанных полей постоянно возрастает, что обусловлено, прежде всего, расширением сферы применения эффекта взаимодействия между полями самой различной природы. В частности, на протяжении многих лет особое внимание уделяется пьезоэлектрическому эффекту. Это связано с широким применением технических устройств, работа которых основана на взаимодействии механических и электрических полей в пьезоактивных материалах.
Наряду со ставшими уже традиционными областями науки и техники, в которых активно используется пьезоэффект (излучатели и приемники звука в гидроакустике, пьезотрансформаторы, устройства для ультразвуковых томографов, различные измерительные устройства [59, 78]), необходимо отметить относительно новые области. Так, например, в конструкциях микроволновых двигателей в последнее время часто применяются керамические пьезоприводы [61], началось довольно широкое исследование задач по моделированию конструкций с использованием пьезоэлектрических и пьезокерамических устройств с целью погашения нежелательных колебаний [94, 126]. Эти задачи особенно актуальны, например, при проектировании зеркал с управляющими пьезоэлементами [41]. Также задачи об управлении находят свое применение в авиации для подавления колебаний авиационной панели, гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях [55, 58].
История развития теории и практики пьезоэлектрических устройств тесно связана с именами У. Мэзона [25, 78, 107], У. Кэди [76], Л. Бергмана [120], Г. Тирстена [134], Н.Н. Андреева [3], В.М. Шарапова [112] и многих других [25, 26,47, 56, 57, 75, 93, 123,129, 132].
Большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов [28], а в качестве
пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства обладают повышенной чувствительностью и температурной стабильностью, высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Именно поэтому задачам электроупругости посвящены исследования многих ученых [15, 20, 27, 47, 48, 53, 60, 77, 95, 100, 104, 108, 111-115, 120, 122, 126, 127, 133, 135-137]. В частности, в работах В.А. Бабешко, O.A. Ватульяна, И.И. Воровича, A.B. Белоконя, В.В. Калинчука, A.B. Наседкина, О.Д. Пряхиной, А.Н. Соловьева,
A.B. Смирновой [11, 12, 35, 36, 44, 46, 62, 79, 91, 92] дана строгая математическая постановка задач, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Систематически теория электроупругости изложена в монографиях Э. Дьелесана, Д. Руайе [57], М.К. Балакирева, И.А. Гилинского [16], Д.И. Бардзокаса, А.И. Зобнина,
H.A. Сеника, M.JT. Фильштинского [17—19], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко,
H.A. Шульги [52], В.З. Партона, В.А. Кудрявцева [80]. Менее подробно изучены задачи о колебаниях электроупругих слоистых сред с дефектами [13, 14, 42-45, 49, 96, 97, 116], немного работ посвящено исследованию термоэлектроупругой среды [22, 31, 32, 37-39, 72, 73, 81, 82, 86, 109, 110, 119, 128, 130-132, 138].
Большую практическую важность имеет развитие прикладных теорий деформирования пьезоэлементов. Особенность таких теорий по сравнению с их аналогами для упругих элементов заключается в том, что гипотезы для механических переменных дополняются адекватными предположениями для электрического поля. Последние формулируются в зависимости от вида поляризации пьезоэлементов и условий подвода к ним электрической энергии (наличие либо отсутствие электродных покрытий) [98]. Чаще других применяются гипотезы, которые лежат в основе кирхгофовской прикладной теории деформирования пьезоэлементов. В результате применения данной теории задачи деформирования пьезоэлементов сводятся к интегрированию

IV'-
£ + е
;(од + еА,1)-
(1.4.14)
Подставив (1.4.6) в (1.4.14), а (1.4.9) в (1.4.13), получим СЛАУ
С1а5Ь[сгк) + С2сгсЬ(аЬ) = —г-(еТ0 + еД0),
£ + е
—С1сгзЬ(сг/г) + СстсЦсг/г) = ——-ДТ] + еД),
Д + С3 |£фЩа|/г) + С4 |а|сЬ([а|/г) = Д0,
-С3 |сфЩа:|/г) + С4 |а|сЬ(|а|/г) = Д.
Решая данную СЛАУ, находим коэффициенты Ск, к -1,2,3
£ _ £Т0 + ~~ сТ ~ бЕ) £ £*70 + + £Т +
2 + е2 аэст/г) 2 2 + е2 стсЦоТг)
(1.4.15)

(А~А)

2я|сфЬ(|а:|/г) ’
В результате получим
1 ((сЦсту) , бЦсгу)
2е|а|сЬ(|а|А)
1¥(а,у)
2ст + е2|{1чзЬ(сг/г) сЪ.сгк) / 0 Цст/г) ей (а/г)
сН (суу) 8Й(сгу)

вЦа-у) сй(<ту)
еТх +
сЬ (ст/г) вЦа/г)) сЬ(а7г) з1г(сг/?)
зЬ(сгу) с1г(сгу)

1 Г’
(1.4.16)
М(а,у)
Ь(|«|у) | зЬ(|аг|.у)
2еа 1 (зЬ([а|/г) сЬ(|[/г)

сЦау)
8Ь(|а|/г) сЬ(|а|/г)

1 Г>
(1.4.17)
Ф(а, у) = - Ж(а, у) + М(а, у)
(1.4.18)
Выражения (1.4.16)—(1.4.18), являющиеся решением задачи (1.4.1)—(1.4.2) в трансформантах Фурье, удобно представить в матричной форме