Применение метода осреднения к материалам с физически нелинейными свойствами

• Автор: Савенкова, Маргарита Ивановна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 131 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАВОВ
1.1. Процесс диффузии вдвухфазных сплавах
1.2. Зависимость эффективных модулей сплава от изменения микроструктуры
1.3. Зависимость эффективных модулей от типа микроструктуры
2. ВАРИАНТ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
2.1. Постановка задачи
2.2. Линеаризация и дискретизация по параметру нагружения
2.3. Развитие метода осреднения для квазипериодических структур
2.4. Вариант метода осреднения для макроскопически однородных непериодических структур.
3. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
3.1. Уравнения теории пластин
3.2. Осреднение уравнений теории пластин, периодических в плане
3.3. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба многослойной пластины
3.4. Применение асимптотического метода осреднения для численного анализа изгиба пластины из функционально градиентного материала
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
На сегодняшний день композиционные материалы используются повсеместно во всех областях человеческой деятельности: в машиностроении, строительстве, авиа- и космической технике, электронике, медицине, бытовой технике, производстве одежды и обуви, спорте, искусстве и многих других. Композитами могут быть и товары широкого потребления, например, лодки из стеклопластика и весла, автомобильные покрышки, лыжное оборудование, хоккейные клюшки, коньки и пр. Композиты используются в авиации и космонавтике для создания силовых конструкций летательных аппаратов, искусственных спутников, космических зондов, теплоизолирующих покрытий шаттлов, а также в военной технике при производстве бронежилетов. Особое место занимают декоративные композиционные материалы, служащие решением архитектурных и дизайнерских задач, например, искусственный мрамор, активно использующийся при производстве сантехнических изделий, облицовочных плит для отделки офисных и административных помещений и т.д. Композиционные материалы на основе полимеров и всевозможные пластмассы все чаще в повседневной жизни заменяют металл. Низкая теплопроводность, высокая коррозионная и химическая стойкость, хорошие электроизоляционные свойства позволяют композитам занимать прочное положение в ряду разнообразных конструкционных материалов.
Однако экспериментальное определение всех, в особенности нелинейных, свойств композитов с различными схемами армирования требует достаточно сложных экспериментов. Поэтому наряду с экспериментальными исследованиями важны также вычислительные методы нахождения средних (эффективных) нелинейных свойств композиционных материалов. Также существует потребность развития нелинейных математических моделей и методов, которые позволили бы определять не только общие (глобальные или осредненные) характеристики таких материалов, но и локально (на уровне компонентов) описывать происходящие в них процессы деформирования. В данной работе описание с помощью осредненных характери-

стик будем называть описанием на макроуровне, а локальное описание на уровне компонентов композита - описанием на мезо уровне1.
Моделирование локальных свойств деформирования ведет к возникновению дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных конструкционных компонентов материала. Решение таких уравнений приводит к настолько большому объему вычислений, что их проведение на обычных компьютерах вызывает затруднение. В связи с этим существует проблема разработки эффективного метода решения таких уравнений на параллельных компьютерах (кластерах). Эта задача на сегодняшний день является актуальной в механике твердого тела.
Наиболее строгим, с математической точки зрения, подходом для этого является асимптотический метод осреднения или метод двух (многих) масштабов, представленный прежде всего работами Бахвалова Н.С. [1], а в механике деформируемого твердого тела - работами Победри Б.Е. [2], [3], [4]. Среди иностранных авторов следует отметить Sanchez-Palencia Е. [5], который одним из первых в Европе наряду с теоретическими основами рассмотрел метод осреднения применительно к решению проблем теории упругости и гидродинамики в перфорированных средах, а также Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., которые в 1978 году опубликовали книгу [б], посвященную основам асимптотического метода осреднения.
В дальнейшем этот метод развивался очень многими авторами, как отечественными, так и зарубежными. Отметим здесь работы, непосредственно связанные с механико-математическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Это работы Эглит М.Э. [7], [8], посвященные осреднению уравнений теории пластического течения, или [9], [10], где получены осредненные свойства различных сред, Панасен-ко Г.П. [11], [12], где на основе метода осреднения были рассмотрены математические модели задач теории упругости, теплопередачи, переноса энергии излучением и распространения волн в микронеоднородных материалах, диффузии и фильтра-
1 Полагается, что микро уровень описания свойств материала соответствует описанию на уровне атомов и молекул

г 68.29 43.14 57.98 17.36 69.00 42.86 57.99 17.
3 68.43 43.15 58.05 17.38 69.14 42.86 58.06 17.
4 68.65 43.15 58.16 17.41 69.37 42.87 58.18 17.
5 68.54 43.15 58.10 17.39 69.24 42.87 58.11 17.
6 68.79 43.16 58.23 17.43 69.45 42.87 58.22 17.
7 68.91 43.09 58.21 17.41 69.37 42.87 58.18 17.
8 69.14 43.01 58.25 17.42 69.40 42.87 58.19 17.
Рис. 1.6 Первоначальное охлаждение сплава от 183°С до 20°С
1 58.13 44.38 63.05 17.
2 58.32 44.41 63.24 17.
3 58.32 44.51 62.92 17.
4 58.30 44.49 62.71 17.
5 58.00 44.81 62.22 17.
6 57.96 44.75 62.41 17.
Рис. 1.7 Изменение структуры в сплаве серебра и меди
1 156.41 113.69 156.42 66.
2 155.74 113.24 155.58 66.
3 155.46 113.10 155.33 65.
4 155.27 112.99 155.19 65.
5 155.09 112.89 154.91 65.
6 154.91 112.78 154.74 65.
Табл.
В [78] проводилось сравнение зависимостей эффективного модуля Юнга от концентрации включений (керамика) для случая квадратной и треугольной сеток. При этом в качестве исследуемого материала рассматривался волокнистый композит с непрерывно изменяющейся концентрацией волокон вдоль некоторого направления. В результате было получено, что значения модулей для обеих сеток практически совпадают и возрастают с увеличением концентрации. В [104] также проводилось сравнение эффективных свойств волокнистых композитов (материал волокна: стекло, углерод) с регулярной и непериодической структурами, основанное на стохастической модели. Отличия составили 2-6%.
Основным выводом данной главы является утверждение того, что процесс изменения (огрубления) структуры сплава не влияет на его упругие модули. Зависимость свойств от изменения температуры не исследовалась.
Метод осреднения в данной главе использовался только для определения эффективных свойств материалов, т.е. когда нет зависимости НДС от глобальных координат. В следующей главе будет дано его развитие для описания макроскопически однородных непериодических структур и решения краевых задач более общего вида.