Затухание волн в полуограниченных телах и локализация колебаний

• Автор: Пешков, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Глава I. Колебания и волны в поперечно-неоднородной пластине
§ 1. Постановка задачи
§2. Общее представление решения уравнений стационарных колебаний
Глава II. Однородные решения неоднородной пластины
§3. Сведение к спектральным задачам
§4. Критические частоты и моды
Глава III. Затухание волн в пластине при малой диссипации энергии
§5. Постановка задачи
§6. Исследование затухания волн методом теории возмущений
§7. Локализация колебаний
§8. Некоторые результаты численного анализа
Глава IV. Колебания двухслойной пластины на поверхности акустической среды
§9. Постановка задачи
§ 10. Построение решения методом интеграла Фурье
§11. Критические частоты и моды двухслойной полосы
§12. Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация колебаний
§13. Характеристика направленности в дальнем поле
§ 14. Результаты численного анализа
Заключение
Список литературы
Приложение

В настоящее время существуют разнообразные акустические устройства, широко использующие слоистые упругие элементы пластинчатой структуры. Методы расчета таких элементов зачастую опираются на прикладные теории слоистых пластин. Однако такие теории оказываются мало пригодны в случае высокочастотных колебаний, когда длина волны становится соизмерима с толщиной пластины. Такие ситуации возникают, если частота внешнего воздействия на элемент равна или больше первой критической частоты (частоты запирания) неограниченной полосы.
В диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области, созданию алгоритма такого подбора. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И.И. Воровичем [8]), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема, тесно связанная с первой, - возможность создания узконаправленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие слоистые элементы. Главное внимание в обеих проблемах уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки. В случае реализации таких возможностей можно использовать модель неограниченной пластины, даже если материал пластины является достаточно добротным.
Большой вклад в развитие математической теории гармонических волн в полуограниченных телах внес И.И. Ворович [6, 7, 8] благодаря тон-

ким исследованиям свойств дисперсионных множеств и связанных с этими свойствами таких проблем, как условия существования решений с конечной энергией, единственность решения и принципы его выбора.
Важным циклом работ аналитического направления для изучения волновой картины в слоистых средах являются работы [24, 25, 26] по применению матричной технологии в теории слоистых сред: каждый слой характеризуется своей матрицей, определяемой параметрами слоя. Для определения характеристик волны, прошедшей несколько слоев, соответствующие матрицы следует перемножить. В терминах произведения матриц характеризуется также и дисперсионное уравнение.
Несмотря на то, что проблеме распространения волн в неоднородных телах посвящено большое количество работ [1, 2, 3, 4, 17, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], вопросу поведения волновых полей в окрестности критических частот посвящено сравнительно небольшое число исследований. Одним из первых таких исследований, где задача математически изучалась достаточно полно, была работа [8]. Для твердых волноводов типа цилиндра математическая сторона вопроса детально была исследована в [13].
Проблема затухания нормальных волн в однородной полосе на основе метода комплексных модулей упругости (комплексных скоростей PH и РБ-волн) подробно исследована в [5, 22], однако из поля зрения авторов этих работ выпал особый случай - затухание волн в окрестности критических частот. Этот случай для однородного слоя детально изучен в [10], а для слоя, лежащего на поверхности идеальной акустической среды - в работе [20]. В [19] рассмотрена задача об определении амплитудно-частотной характеристики упругой полосы, лежащей на поверхности жидкости на критических частотах при воздействии на внешнюю лицевую поверхность пластины сосредоточенной, периодически меняющейся нагрузки.
В диссертационной работе обосновываются и защищаются следующие новые выводы:

/?0(г,а)=о (из)
Рассмотрим критическую спектральную пару (ус,Ос). Известно [7, 21], что Ус = 0 - кратное собственное значение (СЗ).
Подставляя рО в уравнение (11.3), получаем
^0(0,0) = ^1(П)02(^) = ° (П.4)

о,(п) = соя(4'1Г2)зіп(т, 4г П)+**, віп^Г^со^/и^ 4*2^)
£>2(П) = СО^/Пц 4"і^)8*п(т2/ <э2^) + *7 5Іп(/% СіЦІСОЗ^
сУ
^ у сіР СМ СЬ СЪ
—, ^ */=-**—1т,=—, 1»!/ ГП21
Р] СцРг °пРг съ сч С21
Параметры к, и к) характеризуют отношение волновых сопротивлений поперечных и продольных волн соответственно.
Нули функций О](О) и О2(^2) будем называть критическими частотами первого и второго рода соответственно и обозначим их 0.1г и П 2г (г = 1,2,...).
Обозначим через У0 = {У]0, У2 ], Уу = [.Уу! >У%>У%.У%^ собственный вектор (СВ), соответствующий критической спектральной паре. Его ]
компоненты имеют следующую структуру: Уу = для Г21г и