Вариант оценки пределов применимости технической теории анизотропных пластин

• Автор: Батырев, Константин Георгиевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 120 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Современное состояние прикладной теории пластин и анализ
существующих теорий
ЕЕ Классическая теория
1.2. Уточнённые теории
1.3. Метод минимизации невязок решения общих уравнений
1.4. Метод разложения по толщине
1.5. Асимптотические методы
1.6. Предлагаемая теория
2. Основные уравнения теории упругости анизотропного тела
3. Теория пластин средней толщины
3.1. Аффинное преобразование
3.2. Основные соотношения для напряжений и деформаций
3.3. Вариационный принцип возможных перемещений
4. Осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально - изотропной пластины в цилиндрических координатах
5. Анализ полученных результатов
5.1. Изгиб квадратной ортотропной пластинки под действием синусоидальной нагрузки
5.2. Изгиб круглой жёстко защемлённой по конкуру трансверсально изотропной пластины под действием равномерно распределённой нагрузки
5.2.1. Жёстко защемлённая пластинка
5.2.2. Свободно опёртая по контуру пластинка
5.3. Анализ краевого эффекта
5.3.1.Прямоугольная пластинка
5.3.2. Круглая пластинка
6. Оценка пределов применимости уточнённых теорий
Заключение
Библиографический список
Приложение 1
Введение
Задачи прочности, устойчивости и колебания пластин издавна привлекали внимание многочисленных исследователей. Тонкие пластины, а также пластины средней толщины находят исключительно широкое применение в конструкциях самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надёжных совершенных конструкций зависит от уровня развития теории пластин средней толщины. Если раньше теория пластин и оболочек решала в основном задачи рационального проектирования инженерных конструкций из готового материала, то сейчас не меньшую роль играют вопросы оптимального проектирования и изготовления материала конструкций. Путём вариации различных материалов, входящих в состав пластинки или оболочки, их взаимного расположения по толщине создаются конструкции, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и оптимальной стоимостью.
В связи с широким применением в последние годы анизотропных материалов, а анизотропными в большей или меньшей степени являются практически все конструкционные материалы, в современной технике особый интерес представляют исследования в области теории анизотропных пластинок. Многочисленные результаты, полученные в этой области, были обобщены и систематезированны в монографиях известных советских учёных С. Г. Лех-ницкого «Анизотропные пластинки», посвящённой классической теории анизотропных пластинок [78], и С. А. Амбарцумяна «Теория анизотропных пластинок» [И], в которой рассматриваются различные уточнённые теории анизотропных пластин.
Характерной чертой большинства уточнённых теорий является то, что в математическом отношении они являются лишь вторым приближением к объекту, если при этом в качестве первого приближения считать теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа - Лява. Эти теории могут быть применены

для получения первой поправки к основному напряжённому состоянию, даваемому классической теорией, и по сути дела представляют собой некоторые приёмы учёта влияния поперечных сдвигов и нормального напряжения аг. Величина этой поправки растёт вместе с соотношениями типа Е|/С43 (I = 1, 2) или Ь/а и может стать значительной для сильно анизотропных или для толстых пластин. Попытки построения теории анизотропных пластин в более высоких приближениях обычно приводят к сильному усложнению разрешающих уравнений - число уравнений увеличивается в некоторой пропорциональной зависимости с числом приближений и решение их становится весьма затруднительным.
К настоящему времени развит целый ряд вариантов теорий, базирующихся на различных гипотезах. Общая теория анизотропных пластин и оболочек отсутствует. Неизвестна область наиболее рационального использования тех или иных вариантов теорий.
В настоящей работе предлагается техническая теория ортотропных пластин средней толщины иного рода. Отличительной особенностью предлагаемой теории является возможность построения решения в любом приближении, причем, начиная с третьего приближения и выше, число разрешающих уравнений остаётся постоянным, а структура их оказывается рекуррентной. Такая природа получаемых уравнений данной теории достигается путём использования при построении приближений для перемещений точек пластинки точных интегралов теории упругости по координате, нормальной срединной плоскости пластины.
Решаются задачи поперечного изгиба прямоугольной ортотропной пластины и осесимметричная задача изгиба круглой трансверсально изотропной пластины. Вводится эталонное пространство, позволяющее дать оценку пределов применимости уточнённой теории.
Анализируя результаты, полученные при решении реальных инженерных задач изгиба анизотропных пластин, предлагается метод оценки точности решений, полученных как по рассматриваемой в данной работе теории,

3.2. Основные соотношения для напряжений и деформаций
Рассмотрим прямоугольную ортотропную пластину, изгибающуюся под действием поперечной нагрузки (см. рис. 1.).
Исходную зависимость перемещений и0, у0, от прогиба срединной поверхности у0 (х, у) в новом модифицированном пространстве выбираем в виде [67]
Ь . п-г д&г.

ЯШ —

й Эх п ■ г дч/п

w = соя-
71 -Ъ

■у0.
(3.14)
При таком выборе и0, у0, w деформации сдвига срединной поверхности равны нулю, учитывается обжатие пластины по толщине и кроме того выражения (3.14) удовлетворяют уравнениям равновесия теории упругости. Для компонентов сдвига в поперечных сечениях принимаем выражения