Динамические игры преследования на поверхностях

• Автор: Ахметжанов, Андрей Рауфович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Общие свойства оптимальных стратегий игроков в играх на поверхностях
1.1. Динамика игры и фазовое пространство
1.2. Первичное решение
1.3. Другие типы оптимальных траекторий
1.4. Необходимые условия глобальной оптимальности первичных стратегий игроков
1.5. Уравнение Веллмана-Айзекса
1.6. Анализ многообразия Г с точки зрения теории вязкостных решений
1.7. Алгоритм построения решения
2 Многообразия с простой структурой стратегий
2.1. Дифференциальная игра на эллипсоиде вращения вокруг большой оси
2.2. Дифференциальная игра на плоском двустороннем эллипсе
2.3. Дифференциальная игра на эллипсоиде вращения вокруг малой оси
2.4. Особенности дифференциальной игры преследования в общем случае трехосного эллипсоида
3 Свойства фазового пространства игр на неограниченных поверхностях вращения
3.1. Постановка задачи. Определение многообразия Г
3.2. Определение многообразия В

3.3. Геометрия дифференциальных игр на различных поверхностях вращения
3.3.1. Конус
3.3.2. Гиперболоид вращения
3.3.3. Параболоид вращения
3.4. Картина оптимальных траекторий игроков на различных поверхностях вращения
3.4.1. Конус
3.4.2. Гиперболоид вращения
4 Понятие вязкостного решения уравнения Гамильтона-Якоби в моделях механики и физики
4.1. Математическая постановка задачи
4.2. Решение начальной и терминальной краевых задач оптимального управления
4.3. Задачи оптимального управления и вариационного исчисления для автономных систем
4.4. Задача вариационного исчисления с однородным лагранжианом
4.5. Замечания по используемой терминологии
4.6. Иллюстративные примеры
4.6.1. Управление автомобилем
4.6.2. Дифференциальная игра на плоскости
4.7. Задача восстановления формы по двумерному изображению
4.7.1. Иллюстративный пример
4.7.2. Сингулярная характеристика, бегущая вдоль границы
4.7.3. Иллюстративный пример (продолжение)
Литература

Обозначения
Kn — п-мерное вещественное евклидово пространство, R = М1.
8U — граница множества U.
U = U U dU — замыкание множества U.
U+V — непересекающееся объединение множеств U и V (U+V — UUV такое, что U П V = 0)
UV — разность множеств U и V.
С(U) = {/: U —> Ж | / непрерывна}.
Ck{U) = {/: U —> К | / раз непрерывно дифференцируема fc раз}.
|ж| — модуль числа х. sign х — знак числа х £ R. т — транспонирование.
(х, у) — скалярное произведение векторов из R”, (х, у) = хгу.
V/ — вектор градиента скалярной функции /.
{ F G} — скобки Якоби (Пуассона) для гамильтонианов F и G.
= — «по определению», используется для вводимых обозначений.
□ — окончание доказательства.

Глава
Многообразия с простой структурой стратегий
В данной главе исследуются свойства дифференциальных игр простого преследования (1.1) на ограниченных поверхностях, таких как эллипсоид вращения вокруг малой или большой оси (“таблетка” или “капсула”) или плоский двусторонний эллипс (двусторонняя фигура с краем). Решение общего случая игры на трехосном эллипсоиде является интересным, хотя и более сложным. Главная трудность состоит в том, что из-за отсутствия симметрии вращения размерность фазового пространства нельзя понизить. В рамках класса эллипсоидов вращения симметрия позволяет редуцировать размерность пространства, до трех и изобразить многообразия Г и В на двумерной плоскости. Случай плоского двустороннего эллипса является шагом вперед по направлению к изучению более общего случая и поэтому является важным.
Одной из отличительных особенностей данных поверхностей является то, что первичная область может занимать все фазовое пространство игры. Тем самым, преследование по геодезической линии, соединяющей игроков, может быть оптимальным для любых позиций игроков на поверхности М.. В этом случае многообразие Г совпадает с Г* = П Г и является рассеивающей поверхностью. Находясь на такой поверхности (рис. 1.1), игрок может использовать одну из двух геодезических линий для дальнейшего движения. Но каждый выбранный путь дает в результате одно и тоже значение Т времени поимки убегающего преследователем.