Исследование динамики твердых тел, соударяющихся с двусторонним ограничителем

• Автор: Переверзев, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. Метод негладких замен переменных в системах с зазором
§ 1. Описание механической системы
§ 2. Метод негладких замен переменных в системах
с одной односторонней связью
§ 3. Случай постоянного зазора
§ 4. Случай переменного зазора
§ 5. Выводы
Г лава 2. Периодические движения пластины, соударяющейся со стенками
§ 1. Уравнения движения .
§ 2. Условия существования периодических
двузвенных траекторий
§ 3. Устойчивость периодических двузвенных траекторий
§ 4. Выводы
Глава 3. Периодические движения тела вращения, соударяющегося со стенками
§ 1. Виды периодических движений
§ 2. Условия устойчивости
§ 3. Выводы
Глава 4. Исследование динамики двухмассовой системы с упругой связью
§ 1. Описание системы
§ 2. Периодические движения в случае неподвижных стенок
2.1. Существование периодических движений
2.2. Устойчивость периодических движений
2.3. Бифуркации периодических движений
§ 3. Исследование динамики при малых р
§ 4. Случай подвижных стенок
§ 5. Выводы
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию движения в некоторых системах твердых тел, движущихся в отсутствие внешних сил и сталкивающихся с параллельными массивными стенками по законам абсолютно упругого удара.
Актуальность данной проблемы обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, системы с упругими соударениями распространены в природе: к их числу относится идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме. Поскольку число молекул, из которых состоит газ, чрезвычайно велико, (число Авогадро, равное количеству молекул в одном моле, равно 6.023 • 1023), определение движения каждой из молекул в такой системе невозможно. Поэтому в кинетической теории изучают некоторые средние значения физических величин, характеризующих движение частиц: средняя энергия, средняя длина свободного пробега и т.п. Для этого принимают некоторые дополнительные гипотезы о виде функции распределения (распределения Максвелла, Больцмана, Гиббса), что позволяет провести усреднение по статистическому ансамблю [8]. Наряду с этим может оказаться полезной и исследование простых механических моделей, состоящих из одного-двух тел, соударяющихся друг с другом и со стенками, неподвижными или движущимися по заданному закону. В таких моделях можно учесть различные факторы: отличие формы молекул от сферической, относительное движение частиц, составляющих стенки сосуда, собственное движение стенок и т.д. Получаемая в итоге система дифференциальных уравнений имеет сравнительно невысокую размерность, что позволяет надеяться на успешное применение тех или иных аналитических или качественных методов, из-
одна из главных центральных осей инерции ортогональна плоскости движения). В этом случае углы ф и <р постоянны, не ограничивая общности, будем считать (р = О В формулах (1.2) кинетическая энергия будет выглядеть (при учете соглашения х = 0) так:
Т=±тг2 + У1ё2. (2.1)
Введем новые координаты по формулам д1 = г, д2 = рО, Р = л/Тф/т, тогда кинетическая энергия системы и наложенные на нее неудерживающие связи примут вид
Т = т (д + $) , /(?г/л0) < 91 < Ь - /(тг + да/р,0). (2.2)
Заметим, что система (2.2) имеет точно такой же вид как для математического биллиарда в полосе с переменным зазором, обсуждавшегося в §4 первой главы. Ввиду периодичности функции / эту полосу можно свернуть в круговой цилиндр, подобно тому, как это обычно делается с фазовым пространством математического маятника.
Обсудим периодические движения системы (2.2). Как и для биллиарда в конечной плоской области, они могут состоять из разного числа звеньев. Простейший тип составляют двузвенные траектории: для них удары происходят в двух точках границы биллиарда поочередно. В плоском биллиарде Биркгофа двузвенная траектория соединяет две точки удара и в обеих точках ортогональна границе биллиарда. Такие же траектории возможны и в биллиарде на цилиндре. Им отвечают движения тела следующего вида: сначала оно движется между стенками с постоянными поступательной и угловой скоростями г = ь,в = ш. После удара об одну из стенок эти скорости меняются на противоположные и остаются неизменными вплоть до удара о другую стенку. После