Исследование интегрируемого приближения задачи о движении точки в гравитационном поле твердого тела

• Автор: Васкез Бесерра Хуан Антонио
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Глава 1. Введение
Глава 2. Постановка задачи, интегрирование уравнений движения
2.1. Рассматриваемое приближение потенциала
2.2. Геометрические замечания
2.3. Сведение уравнений движения к квадратурам
2.4. Связь с потенциалом гауссова кольца
2.5. Первые интегралы в инволюции рассматриваемой задачи
2.6. Различные системы произвольных постоянных и их связь
2.7. Переход к безразмерным переменным
Глава 3. Устойчивость и бифуркации стационарных движений
3.1. Стационарные (круговые) орбиты модельной задачи
3.2. Устойчивость по Ляпунову круговых орбит
3.3. Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева
3.4. Бифуркационные диаграммы Смейла
Глава 4. Качественный анализ движения в приведенной системе
4.1.Необходимые сведения
4.2.Переход к рассматриваемой задаче
4.3. Построение диаграмм Алексеева
Глава 5. Качественный анализ в зависимости от энергии
5.1. Вид многочленов, входящих в квадратуры
5.2. Движения эллиптического типа
5.3. Движения параболического типа
5.4. Движения гиперболического типа
Заключение
Список использованных источников

Глава 1. Введение
Среди многочисленных проблем теоретической и небесной механики, а также звездной динамики особое место занимает задача отыскания решений систем дифференциальных уравнений, описывающих движение исследуемых объектов при использований различных моделей гравитационных полей.
Как правило, аналитические решения таких систем не удается найти, и поэтому на повестку дня встает вопрос выбора таких моделей, которые при сохранении основных свойств рассматриваемой динамической системы, допускали бы, тем не менее, существование некоторых первых интегралов или даже интегрирование в квадратурах соответствующих дифференциальных уравнений. Поиск и исследование таких, так называемых интегрируемых приближений, будет вестись всегда и всегда будут актуальны.
Сказанное относится и к задаче о движении материальной точки в гравитационном поле неподвижного абсолютно твердого тела. Это одна из основных задач небесной механики, она стала особенно востребованной после запуска первого советского искусственного спутника Земли в 1957 г. Интегрируемые небесной, механики описаны в монографиях В.Г.Демина [11], В.В.Белецкого [12], а также недавно изданной монографии А.М.Переломова [35]. Отметим, однако, что рассматриваемого нами случая нет среди них. Это определяет актуальность рассматриваемой в диссертации темы.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из пяти глав и заключения. В работе 87 страниц, 50 наименований использованной литературы, 78 рисунков.
В главе 1 (введении) сформулирована общая постановка задачи и приведен краткий обзор результатов, касающихся известных моделей гравитационных полей, допускающих интегрирование в квадратурах, среди которых представлена и рассматриваемая модель. Описаны известные интегрируемые варианты задачи двух неподвижных центров: Кеплера, Р. Баррара, Дж. Винти и М.Д. Кислика, Е. П. Аксенова, В. Г. Демина и Е. А. Гребенникова, а также предложенный А. А. Кочиевым и рассматриваемый автором некоторый новый вариант:

(2)

Глава 2 посвящена постановке задачи и интегрированию уравнений движения.
В параграфе 2.1. ставится задача с потенциалом (1): проинтегрировать в квадратурах уравнения движения материальной точки в поле с ■>указанным. В параграфе 2.3 рассматриваются сжатые сфероидальные коор-ДШЕГГБГ''~ ... ч .Д ■и М
Х = А//СО50>, у >
- у = Ддош^, (3)
г = №-сг)(1-рг)
с помощью которых, используя метод Якоби, уравнения движения с потенциалом (1) сведены к квадратурам и приведены к виду
с1р_4Щ.

(1(0

(1т

ау,(й = (я2 -с2/г)с/г;
(4)
(5)

1(Д)
= (я2 - с2 '[я2 (2 а, Я2 + 2 ум Я + а2)+ а2 с2}
р[м)=
= (1 -М2~а2 -М2{2а1с2/иг + а2)}
В параграфе 2.2 рассмотрена связь потенциала модельной задачи с потенциалом поля тяготения твердого тела и гауссова кольца.
На основе системы уравнений (4) и многочленов (5) разработан алгоритм построения промежуточной орбиты, которая для ограниченных движений (А <0) в общем случае является условно-периодической с тремя периодами.
В параграфе 2.3 получены три первых интеграла в инволюции, т.е. такая система первых интегралов, скобки Пуассона от которых для любых двух интегралов тождественно равны нулю.
Соответствующие интегралы в сжатых сфероидальных координатах (8) имеют вид:
’Р. = «з.
(Я2-с2)р2л+(1-н2)р1 | Р1 2№
Яг - р2с2 Я?р2
г, 2,.2 м2 _2 _2 . <2 /1 ,,2х
с2М2(Я2-с2)р2х+Я2(-р2)р1
я2-р2с2
2<У УМ?4Г ' Я2
-р2с2
с2'

= 2 к
р1-
(6)
-р2с2
• = -а,

Графики (рис.4.3.4)пересекаются, когда критические точки есть Можно написать в стиле (4.1.26)

?кг '

8 = ~+2Л + },Аг=Л
. к2 1+-т

(4.3.5)
(4.3.6)
При Я = 1 попадаем на прямую Ж, (о).
2~к2+1; И = 1>0.

(4.3.7)
Ясно, что критическая точка £ может существовать и при Л> 0. Рассматриваемая кривая имеет точку возврата
^- = — = 0 с1$
при л1 = 2к2. Тогда
3 I " 3
8возв = 2 "2к2 ’ ^возв = _ 4 < °-
(4.3.8)
(4.3.9)
Эта точка может отпуститься ниже кривой Ж,