Математические модели движения на роликовой доске : скейтборде

• Автор: Кремнев, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Содержание.
Содержание
Введение
Глава 1. Простейшая модель скейтборда
Введение
1. Постановка задачи. Основные системы координат
2. Кинематические связи
3. Вычисление абсолютной скорости центра масс доски и центра масс райдера
4. Уравнения движения
5. Сравнение с известными результатами
6. Устойчивость прямолинейного равномерного движения скейтборда:
7. Существование инвариантной меры
8. Качественный анализ интегрируемого случая
9. Исследование устойчивости стационарных движений в интегрируемом случае
10.Анализ движения системы вблизи положения равновесия
Глава 2. Модель скейтборда с тремя степенями свободы
1. Постановка задачи. Уравнения движения
2. Сравнение с известными результатами
3. Устойчивость прямолинейного равномерного движения скейтборда

4. Существование инвариантной меры
5. Анализ движения системы вблизи положения равновесия
Дополнение 1. О выборе значений основных параметров задачи
Дополнение 2. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем с линейными первыми интегралами
Дополнение 3. Нормальная форма системы нелинейных дифференциальных уравнений
Список литературы

Введение.
Механика неголономных систем оформилась как самостоятельный раздел аналитической механики в 1894 году в книге известного физика и механика Г. Герца [13]. Ему принадлежат также и термины “голономная система” и “неголономная система”.
Круг задач, решаемых методами механики неголономных систем, довольно широк. К числу классических задач неголономной механики, прежде всего, следует отнести задачи о качении тел по твердой поверхности. Количество работ, посвященных этим задачам, не поддается описанию. Из русских ученых начала XX века, занимавшихся решением задачи о качении твердых тел, можно назвать С.А. Чаплыгина [73-77], П.В. Воронца [11, 12, 125-127], Г.К. Суслова [58, 59]. В более позднее время такие исследования проводили Х.М. Муштари [45], Е.И. Харламова [72], Ю.П. Бычков [7-10], В.В. Румянцев [49, 53, 54], а в настоящее время их активно проводят A.B. Карапетян [20-24, 26, 27], А.П. Маркеев [37-42], A.C. Сумбатов [56, 57], Я.В. Татаринов [62-64, 67, 69], A.B. Борисов и И.С. Мамаев [2, 3, 87, 88] и многие другие. Современное состояние этого вопроса и обширная библиография имеются в монографии А.П. Маркеева [42].
Теория движения неголономных систем успешно применялась и применяется при исследовании различных технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла (К. Бурле [89], Ж. Буссинеск [90],
Э. Карвалло [93], Ф. Уиппл [122], Дж. Раус [112], М.В. Келдыш [29], И.И. Метелицын [44], Е.Д. Дикарев, H.A. Фуфаев [14]), в теории движения автомобиля (Н.Е. Жуковский [15], П.С. Линейкин [33], Л.Г. Лобас [34], Е.А. Чудаков [79]), в теории движения колесных мобильных роботов (В.М. Буданов, Е.А. Девянин [5], A.A. Зобова и Я.В. Татаринов [18, 19],

V - гладкое векторное поле на М". Ему отвечает дифференциальное уравнение
х-у(х). (1-7.1)
Рассмотрим задачу о существовании у системы (1.7.1) инвариантной меры тез(£>) = |//(х)<7"х (1-7.2)

с гладкой положительной плотностью /и: М”—» К.
Критерием существования инвариантной меры (1.7.2) является уравнение Лиувилля £#у(//у) = 0, которое с учетом положительности функции /л можно переписать в виде:
б7 = -СЙУУ, ш = п/и. (1.7.3)
Ясно, что т - гладкая функция на М".
Пусть точка х = 0 является положением равновесия системы (1.7.1). В окрестности положения равновесия данная система может быть представлена в виде
х = Ах +
где Л — матрица линейной части системы.
Теорема ([31]) Пусть х = 0 равновесное решение нелинейной системы (1.7.4). Если Р'ЛО, то эта система не имеет в окрестности точки х = 0 инвариантной меры с гладкой плотностью.
Воспользуемся утверждением теоремы при рассмотрении нашей задачи. Положим
у = X,, у = х2, и = м0 + х3, и представим систему уравнений (1.4.2) в виде:

При этом след матрицы Л = (а/у ) записывается следующим образом: