Устойчивость невозмущенного движения периодических и почти периодических систем

• Автор: Филаткина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Об устойчивости невозмущенного движения периодической систем.

§ 1.1. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с
периодической правой частью
§ 1.2. Системы с цилиндрическим фазовым пространством
§ 1.3. О предельном поведении нулевого решения периодической по времени
механической системы с первыми интегралами
Глава 2.Устойчивость движений почти периодических систем
§ 2.1. Системы дифференциальных уравнений с почти периодической правой
частью и их свойства
§ 2.2. Устойчивость нулевого решения почти периодической системы дифференциальных уравнений
§ 2.3. Методы знакопостоянных функций Ляпунова в задаче об устойчивости
движения
Глава 3. Об устойчивости движений нестационарной механической системы.

§3.1. Об устойчивости положения равновесия механической системы под
действием сил, зависящих явно от времени
§ 3.2. Об устойчивости обобщенного стационарного движения периодической по времени механической системы
§ 3.3. Задача о стабилизации вращательного движения спутника на эллиптической орбите
Заключение
Список литературы

Введение.
Задача об устойчивости установившихся движений механических систем, изучение которой было начато еще в трудах Ж.-Л. Лагранжа и Э.Дж. Рауса, явилась основополагающей для большого раздела теоретической механики - теории устойчивости движений. Математические основы этой теории были разработаны в трудах великого русского ученого А.М. Ляпунова в 90-х годах XIX века.
Интенсивное развитие науки и техники в 30е - 40е годы прошлого века привлекло большое внимание ученых к проблемам теории устойчивости и ее приложениям. Активным исследованиям в этой области способствовали также труды выдающегося советского ученого Н.Г. Четаева.
И в настоящее время теория устойчивости продолжает активно развиваться, привлекая большое внимание российских и зарубежных ученых, имея широкое применение в различных областях науки и техники, в частности, при проектировании и конструировании систем стабилизации движений различных сложных объектов, в решении задач автоматического регулирования, управления и т.д.
Несмотря на классический характер, задача об устойчивости и стабилизации установившихся и неустановившихся движений механических систем остается одной из актуальных задач. Ее подробное исследование, начатое еще в трудах Ж.-Л. Лагранжа, Э.Дж. Рауса, У .Томсона и П.Тэта [129], Н.Г. Четаева [100, 101] было продолжено в работах В.В. Румянцева [79-89], В.В. Козлова [41-44], Т.К. Пожарицкого [70-72], В.М. Матросова [61,62], A.B. Карапетяна [34,35] и многих других ученых [36,38,95,97].
Подробный анализ исследования задачи об устойчивости положения равновесия и стационарного движения механической системы можно найти в ряде обзоров [34,67,76,88].
Среди классических задач теории устойчивости движений по- прежнему актуальной остается задача об устойчивости и стабилизации установившихся и неустановившихся движений механических систем.
Основными методами исследования таких задач являются использование уравнений линейного приближения и построение специальных функций Ляпунова [67, 76, 88]. Так, например, эффективным методом исследования устойчивости установившихся движений механических систем является метод связок интегралов Четаева [1, 20, 50]. Его применение позволило решить ряд важных и интересных прикладных задач [27, 28, 77, 78].
Анализ решения указанных классических задач об устойчивости установившихся движений механических систем широко используется в исследовании задач о стабилизации управляемых движений механических систем [12,31-33,45,54]
Исследование устойчивости установившихся движений механических систем с помощью функции Ляпунова базируется на применении классических теорем об устойчивости Ляпунова [55], Четаева [100, 101], Барбашина - Красовского [13, 71,48], Румянцева [79, 80, 84].
Несмотря на многочисленные результаты, до сих пор остаются неисследованными отдельные вопросы в задаче об устойчивости установившихся движений механической системы со стационарными связями (см. например, работы [19, 43, 44]) .
Гораздо менее исследована задача об устойчивости установившихся и неустановившихся движений механических систем с нестационарными связями под действием сил, зависящих явно от времени. Это объясняется как неэффективностью применения уравнения линейного приближения, так и необходимостью развития прямого метода Ляпунова в задаче об устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы.
Среди немногочисленных работ в этой области следует отметить результаты об устойчивости положения равновесия механической системы под

асимптотически устойчиво относительно множества{U(t, х) = 0}. Тем самым выполняются все условия теоремы 1.3 и, следовательно, нулевое решение системы (3.1) устойчиво.
Пусть х = x(t, t0, xfl) - какое либо решение из области устойчивости, на котором
U(t, x(t, t, Хо)) = Со , где II Со II <ô>0. (3.3)
Так как это решение ограничено, то к нему применима теорема 1.2, на основании которой данное решение неограниченно приближается при t->+ со к максимально инвариантному подмножеству множества v(t,x) = о}. Но так как вдоль этого решения выполняется равенство (3.3), то более точно x(t, to, Хг,) решение будет неограниченно приближается при t —> + со к максимально инвариантному подмножеству множества {U(t, х) = с0 }n{V(t,x) = 0}.
Теорема доказана.
Допустим, что переменные х = (х, х2хп ) разделяются по у и z,

х= (y,z),yeR ,zeR .Тогда можно вывести следующий результат.
Теорема 3.2. Предположим, что для системы (3.1) существует первый интеграл U:R+xT—» R+ и функция V:i?+xr—> R+, такие что
1) V(t, у, z) - определенно положительная по у на множестве { Vit, х) = 0} и ее производная V(t,x) < 0 V(?,a) g R* x F;
2) множество {П(^а) = 0}п{п(/,а) = о}п{Г(1,у,г)>0} не содержит решений системы (3.1).
Тогда :
1. нулевое решение а = 0 равномерно устойчиво по у и является равномерно притягивающим по у для решения X = x(t, /й, х0), вдоль которого
{/(/, x{t, to, ХоУ) = с0= 0;