Об устойчивости стационарных движений симметричного гиростата на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости

• Автор: Руденко, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с.

Оглавление
Введение
1 Вывод уравнений движения
1.1 Некоторые геометрические и кинематические формулы
1.2 Уравнения движения
2 Об устойчивости стационарных движений гиростата
2.1 Функция Рауса
2.2 Стационарные движения
2.3 Устойчивость стационарных движений
2.3.1 Тело с круговым основанием
2.3.2 Диск с ротором
2.3.3 Тело, опирающееся на плоскость иглой
3 Гиростат с жидкостью в полости
3.1 Уравнения движения. Первые интегралы
3.2 Стационарные движения. Устойчивость
3.3 Случай тонкой оболочки
Заключение
Литература

Введение
1. Задача исследования движения и устойчивости качения тела по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости является классической задачей, которой начали заниматься во второй половине XIX столетия и которую продолжают изучать до настоящего времени.
В 1861 г. Г. Слессер [65], используя основные теоремы динамики, составил уравнения движения тяжелого тела вращения, отнесенные к системе координат, движущейся относительно тела и в пространстве.
Э. Дж. Раус в своем трактате [63], также записав основные теоремы динамики в полуподвижной системе координат, получил уравнения движения без скольжения тела вращения по горизонтальной плоскости, определил условия существования его стационарных движений, исследовал вертикальные вращения и малые колебания вблизи положения равновесия тела произвольной формы, вывел первые интегралы уравнений движения в случае тела вращения со сферическим основанием.
С. А. Чаплыгин [53] впервые вывел дифференциальные уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах для систем, кинетическая, потенциальная энергии и уравнения связей которых не содержат некоторых из обобщенных координат. Системы, обладающие таким свойством, стали называть системами Чаплыгина. Однако, решая далее задачу о движении без скольжения тяжелого симметричного гиростата — тела вращения с ротором, он записал уравнения движения гиростата на основе общих теорем динамики с последующим исключением входящих в эти уравнения реакций. Далее он указал ряд частных случаев, когда интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам, и сделал ряд замечаний о характере движения гиростата в этих случаях.

В монографии А. Грэя [57] изложена теория движения тела вращения со сферическим основанием, несущего ротор, на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости, найдено условие существования стационарных движений системы, рассмотрен случай диска с ротором.
Из линеаризованных уравнений движения определены условия устойчивости прямолинейного качения тела с круговым основанием, в частности диска, по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости [61].
В конце XIX столетия Э. Дж. Раус [62] получил условия устойчивости стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами или с известными первыми интегралами. Следует отметить, что для голономных консервативных механических систем существует единственное определение циклической координаты, которое одновременно обеспечивает наличие соответствующего циклического интеграла. В случае неголономных систем существуют несколько определений псевдоциклической координаты [22], среди которых имеются определения, обеспечивающие существование стационарных движений, но вообще говоря, не допускающие циклических интегралов. Таким образом, консервативные неголоном-ные механические системы не имеют, вообще говоря, интегралов, отличных от интеграла энергии. Однако, в некоторых случаях неголо-номная система Чаплыгина допускает первые интегралы, явный вид которых неизвестен, но их можно представить в виде гипергеометри-ческих рядов [20]. Несуществование дополнительных интегралов в случае неголономной системы существенно затрудняло исследование устойчивости ее стационарных движений.
В работах И. М. Миндлина [28] и А. П. Дувакина [7] исследована устойчивость прямолинейного качения диска с ротором и устойчивость прямолинейного качения диска и верчения диска вокруг вертикально расположенного диаметра на абсолютно шероховатой плоскости. И. М. Миндлиным и Г. К Пожарицким [29] получено необходимое и достаточное условие устойчивости стационарных движений гиростата в предположении, что угол нутации отличен от нуля. При

2.2 Стационарные движения
Система (2.17) допускает установившиеся движения [20]
■в = i?0, è = 0, pi = Ри р2 = Рг (2.19)
причем постоянные Pu Рг удовлетворяют уравнению
(2.20)

В нашем случае имеется только одна позиционная координата $, и выполнено условие
Р»7д 1>/у
Drj Dri
(2.21)
В этом случае система (2.17) допускает два первых интеграла вида U(i9, р) = с, явные выражения которых неизвестны. Однако, установившиеся движения (2.19) доставляют стационарные значения интегралу инергии при фиксированных значениях постоянных этих интегралов. Это позволяет считать движения (2.19) стационарными [20].
Вычислим DWjD'd. Имеем

= тдЫ(0) + ^(р! - JQ)2 +
+ а2 sini?pi(p2 - Pi cos-â) + ~^-(р2 - Pi cosi?)2 +