Исследование устойчивости систем с односторонним ограничением

• Автор: Отставнов, Евгений Игоревич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Глава 1. Условия бесстолкновительного движения двойного астероида.
1. Уравнения движения и условия существования системы двойного астероида
Глава 2. Исследование устойчивости равновесий систем с односторонним ограничением по первым приближениям.
1.Определение системы ОДУ с односторонним ограничением, её решений и условий устойчивости неподвижных точек
Глава 3. Исследование устойчивости равновесий механических систем с односторонними голономными и дифференциальными связями по первому и второму приближению.
1.Общие соображения. Модельная задача о космическом лифте как пример системы с (с,/)
2. Иллюстративные примеры систем с односторонними дифференциальными связями
3. Задача о движении твёрдого тела с неподвижной точкой, на которое наложена односторонняя дифференциальная связь
Заключение
Список литературы

Диссертация посвящена исследованию систем с ограничениями на значения фазовых переменных или с неудерживающими связями (в механических терминах). Это необходимо для изучения систем, состоящих из нескольких твёрдых тел, чьё взаимное расположение ограничено тем или иным образом. В работе рассматривается задача двух взаимно-гравитирующих твёрдых тел, и строится теория, позволяющая исследовать устойчивость состояний, возникающих из-за наличия односторонних связей в механике или ограничений общего вида для соответствующих образом определённых систем дифференциальных уравнений с неравенствами. Полученные теоретические результаты поясняются в иллюстративных примерах.
Для системы двойного астероида найдены достаточные условия на величину механической энергии и кинетического момента, обеспечивающие вечное бесстолкновительное движение тел на конечном расстоянии друг от друга.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида с неравенством, ограничивающим допустимую для динамики область фазового пространства, получены условия (не)устойчивости неподвижных точек, возникающих из-за наличия неравенства. Эти и родственные результаты применяются для исследования механических систем с неудерживающими связями.
Небесномеханические системы из нескольких твёрдых тел активно исследуются в современной механике. Наиболее точный анализ возможен в случае систем вида “тело-точка”, которые позволяют точно (численно) находить как возможные стационарные движения (ОЛ. Бсйеегез [14]), так и статистические характеристики типа плотности выпадения частиц на тело (пересечение орбиты точки и поверхности тела), как это было сделано в работе О.О. Василько-вой[37]. Такие задачи представляют интерес для исследования процесса формирования астероидов, но не всегда пригодны для изучения динамики конкретных систем.

Большинство известных автору современных работ, посвящённых системам двойных астероидов, используют численное моделирование, опирающееся либо на экспериментальные данные (DJ. Scheeres и др.[9]), либо на авторские представления о типичности рассматриваемых тел. Тела могут приближаться многогранниками (DJ. Scheeres, E.G. Fahnestock [11]), либо иметь симметрии (W.S. Кооп и др. [13]). Эффективными оказываются модели, задаваемые телами относительно простой формы - эллипсоидами и сферами. Они появляются при желании аналитически исследовать динамику систем многих притягивающихся твёрдых тел (В.В.Белецкий, А.В. Родников [33], [4], В.В.Белецкий [23]), либо динамику в окрестности таких систем (F. Gabem и др. [12], В.В. Белецкий [25]). Отдельно стоит упомянуть работы (В.В. Видякин [38]), где налагаемые на тела требования симметрии являются относительно слабыми, но находятся только решения, соответствующие классическим для случая точечных тел. Представления потенциала в таких ситуациях, полученные ещё Г.Н. Дубошиным [42], успешно применяются для численного моделирования (О.О. Василькова [37]). К сожалению, численное интегрирование уравнений не позволяет проводить качественный анализ систем общего вида.
В силу аналитической сложности получать общие результаты в полной задаче двух твёрдых тел произвольного вида представляется затруднительным (сложности имеют место уже для одного тела в поле ньютоновского центра [22] - предельный случай задачи двух твёрдых тел состоящей из очень массивного однородного шара и тела произвольной формы). Современные теоретические исследования, открытые книгой Г.Н. Дубошина [42] оперируют модельными системами тел простой формы. В общем случае до сих пор проводился лишь грубый качественный анализ. В полной постановке для изолированной системы двух твёрдых тел условия бесстолкновительности рассматривались в работах D.J. Scheeres[18], [19], в которых, однако, энергия и кинетический момент системы выступали как независимые параметры, которые приходилось подбирать. Ниже пороговые значения параметров будут явно вычисляться с использовани-

Глава 2.
Исследование устойчивости равновесий систем с односторонним ограничением по первым приближениям.
В настоящее время активно исследуется класс механических систем с односторонними связями, в частности, для них строятся методики исследования устойчивости. В книге [46] рассмотрен вопрос о реализации связей подобного рода, и конструкции, применяемые для их построения, эффективно используются для изучения модельных систем, таких, например, как биллиард Биркго-фа. В книге [43] глубоко излагаются и исследуются вопросы об импульсивном движении, возникающем, в частности, при наличии односторонних связей, модели механических систем с несколькими односторонними связями, вопросы, связанные с поведением систем при выходе на границу нескольких связей, а также приводятся авторские обобщения метода функций Ляпунова для исследования устойчивости положений равновесия и периодических движений систем с односторонними связями. В книгах [43], [46] применяются, в основном, два подхода: метод функций Ляпунова, обобщающий классические результаты и, видимо, являющийся наиболее предпочтительным для исследования устойчивости в гамильтоновых системах с односторонними голономными связями, а также метод отображения последования, применяющийся для исследования устойчивости периодических траекторий. Прямой метод Ляпунова также использовался для исследования систем с импульсами [1], [2], [3]. Метод точечных отображений применялся ранее в [41].
Ниже отображение последования строится для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) общего вида с односторонним ограничением (связью), и используется для исследования устойчивости неподвижной точки находящейся на границе связи.