Резонансные и нерезонансные колебания в задачах динамики механических систем

• Автор: Холостова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 245 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ЧАСТЬ 1.
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ И БЛИЗКИХ К ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМ ПРИ РЕЗОНАНСАХ
Глава 1.
Резонансные колебания и устойчивость в системах с одной степенью свободы
§1. Резонанс в вынужденных колебаниях в гамильтоновой и близкой к гамильтоновой системах
1.1. Преобразование гамильтониана
1.2. Анализ модельной системы при (£
1.3. Модельная система в случае 5^0
1.4. О нелинейных колебаниях полной системы
§2. Параметрический резонанс в гамильтоновой системе
2.1. Преобразование гамильтониана
2.2. Анализ модельной системы
2.3. Движения полной системы
2.4. Оценка ширины стохастического слоя
§3. Случай резонанса третьего порядка
3.1. Преобразование гамильтониана
3.2. Анализ модельной системы
3.3. О нелинейных колебаниях полной системы
§4. Случай резонанса четвертого порядка
4.1. Преобразование гамильтониана
4.2. Анализ модельной системы при 5
4.3. Модельная система в случае 5 ф 0
4.4. О нелинейных колебаниях полной системы

Глава 2.
Нелинейные колебания гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах
§1. Периодические движения неавтономной гамильтоновой системы с двумя степе-
нями свободы при параметрическом резонансе основного типа
1.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
1.2. Периодические движения системы
§2. Нелинейные колебания автономной гамильтоновой системы, близкой к системе с циклической координатой, при внутреннем резонансе
2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
2.2. Периодические движения системы
2.3. Условно-периодические движения системы
ЧАСТЬ 2.
РЕЗОНАНСНЫЕ И НЕРЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Глава 3.
Некоторые задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса
. Движения маятника при горизонтальных колебаниях точки подвеса
1.1. Постановка задачи
1.2. Расщепление сепаратрис и неинтегрируемость уравнения (1.1)
1.3. Периодические движения, рождающиеся из устойчивых положений равнове-

1.4. Решения, рождающиеся из неустойчивых положений равновесия
1.5. Периодические движения, рождающиеся из колебаний и вращений, и их устой-
чивость
§2. Высокочастотные периодические движения маятника при быстрых вибрациях точки подвеса
2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
2.2. Положения равновесия системы с укороченным гамильтонианом
2.3. Существование и устойчивость 27г-периодических движений маятника

Глава 4.
Динамика волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса
§1. Уравнения движения
§2. Динамика волчка при колебаниях точки подвеса малой амплитуды —
2.1. Постановка задачи. Преобразование гамильтониана
2.2. Нормализация невозмущенного гамильтониана
2.3. Периодические движения волчка при резонансе в вынужденных колебаниях
2.4. Нерезонансные периодические движения
§3. Высокочастотные периодические движения, близкие к регулярным
прецессиям
3.1. Постановка задачи. Уравнения движения
3.2. Случай |ck'| ф ß'
3.3. Случай а! = ß'
3.4. Случай а' = — ß'
§4. ’’Спящий” волчок Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса
4.1. Постановка задачи
4.2. Устойчивость в линейном приближении
4.3. Анализ устойчивости в областях дп. Нерезонансный случай
4.4. Устойчивость на кривых резонанса четвертого порядка
4.5. Исследование устойчивости на граничных кривых
4.6. Сравнение с классическим результатом
Глава 5.
Некоторые задачи о движении тел, контактирующих с неподвижной поверхностью
§1. Периодические движения тела с острием на гладкой плоскости при внутреннем
резонансе
1.1. Постановка задачи
1.2. Случай е = 0. Регулярная прецессия тела
1.3. Преобразование возмущенного гамильтониана
1.4. Условия существования резонансов
1.5. Периодические движения тела
§2. Об устойчивости двухзвенной периодической траектории тяжелой материальной точки внутри окружности

представляют собой вынужденные колебания системы, соответствующие нерезонансным частотам внешних возмущений, при отсутствии диссипации. Полагая
*i = É-r, Vi=v~v*
уничтожим в слагаемых s2^3[f(t)^ + g(t)rj] гамильтониана (1.4) члены с нерезонансными частотами.
Переходя затем к новым каноническим переменным <р, г по формулам = /2r sin <р, г)г = /2г cos ip и уничтожая в новом гамильтониане слагаемые, содержащие гармоники sin (

г = г, + £2/ЗУ^ [(ьж - cn) cos(v* + Щ - (aN + dN) sin(yj* + Nt)] + 0(e)

г = Nr„ + £2/3y*r„ + б2/3с2г2 + £2/3s/r^ cos( где угол ipQ определяется соотношениями sin ip0 = (aN — (/_v)/k1; cos = (bN + cn)/k 1) «1 = V(aN - dJv)2 + (bN + cJv)2> a K = Kt/y/2.
Уравнения движения будут такими:
^ = |jr + е2/Ч sin 95* cos у, + 0(e)
^ = -J~- -ff2/3^*r*(l+cos2tpJ-|-0(£)
(1.8)
Замена переменных y>„,r* -> ip,R вида
ц>,=1р- £2/3^ cos 2ф + 0(e)

Г* = Л - £2/3 Л sin 2г[) + 0(e)
* 2ЛГ
позволяет в уравнениях (1.8) упростить диссипативные члены. Новый гамильтониан при этом будет иметь вид (1.7), где вместо переменных <р„ и г* стоят ip и Л, а уравнения станут такими:
dtj) дТ . . а?Л 9Г 2/3 Ж = 8Д + 0(е)' Л=-Э0-',',-й + О«
Наконец, замена переменных по формулам
/ ,2/
•ф =s>Nt + ip0 + <т(в + |) - |, Л= р (сг = signc2)