О механических системах с неавтономными возмущениями

• Автор: Полехин, Иван Юрьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Движения без падений
1.2 Метод Важевского
1.3 Задача о движении перевернутого маятника, прикреп-
леного к тележке, движущейся по заданному закону .
1.4 Случай сферического маятника и обобщение
1.5 Качение диска с присоединенной массой по подвижной
плоскости без падений
1.6 Движение велосипеда без падений по горизонтальной
подвижной плоскости
2 Периодические решения
2.1 Метод доказательства существования периодических
решений
2.2 Перевернутый маятник на подвижном основании
2.3 Массивная точка на кривой
2.4 Сферический маятник с трением
2.5 Вспомогательные сведения
3 Системы с затухающими со временем возмущениями
3.1 Шар в поле внешней силы, зависящей только от времени

3.2 Шар на плоскости, вращающейся с почти постоянной угловой скоростью
3.3 Шар с ротором па вращающейся поверхности
Заключение
Литература

Введение
Область исследования. Диссертация посвящена изучению неавтономных механических систем и применению топологических и аналитических методов для получения качественных результатов, касающихся динамики голономных и нсголономных систем. Первую группу рассматриваемых задач образуют неавтономные системы, для которых с помощью топологических соображений и методов алгебраической топологии доказываются утверждения, касающиеся качественного анализа траекторий системы. В частности, показывается существование решений, соответствующих движениям механической системы, при которых в системе будут отсутствовать падения на горизонтальную плоскость рассматриваемого объекта и существование периодических решений (также при отсутствии падений). Аналитические методы применяются для анализа систем с убывающими по времени неавтономными возмущениями.
Мотивировкой для использования топологических методов послужила хорошо известная задача, предложенная в [54], заключающаяся в доказательстве того факта, что для перевернутого плоского математического маятника, расположенного на подвижном основании, совершающего движение вдоль прямой, лежащей в плоскости маятника, по заданному закону, существует такое начальное положение маятника с нулевой скоростью, что начав движение из него, маятник не примет горизонтального положения на всем заданном интервале времени. В [54] приводится и идея доказательства данного утверждения. Однако отсутствие достаточной строгости в рассуждениях, отмеченное в [3], позволяло считать доказательство от-

Аналогично для координаты <д
т12ф cos2 в — ml26 sin 26 — ml£ sin tp cos в + mlfj cos

Заметим, что эти два уравнения не определяют динамику системы в вертикальном положении маятника, однако для доказательства существования решения, которое никогда не примет горизонтального положения, не требуется выписывать явно уравнения во всех картах. Достаточно рассмотреть карту, которая содержит границу области. Функции <р, в являются координатами в окрестности границы (которая задается уравнением 6 = 0).
Обозначим через ТА подмножество фазового пространства ТМ системы, которое соответствует таким положениям и скоростям маятника, что координата z ^ 0. Как было отмечено выше, граница этого множества задается уравнением 6=0.
Покажем, что существует подмножество D С {0} х ТА, гомео-морфное двумерному диску, причем D П (R х <9ТА) гомеоморф-но окружности и состоит из точек строгого выхода из множества Ж х T./V.
Пусть D0 — множество точек {0} х ТА с нулевыми скоростями. В локальных координатах определим следующее множество
D + = {(t,ip,6,p9,po) Е {0}хТА: 6 Е [0,9'}, р{р = 0, р0 = -в'+в}.
Здесь в' € (0,7г/2) заданный для построения параметр. Тогда положим множество D совпадающим с D+ когда 6 € [0, 9'] и с То в других точках.
Поскольку в' > 0, то D П (Ж х дТА) является точками выхода для Ж х ТА.