Моделирование процессов управления и эллипсоидального оценивания для механических систем на основе декомпозиции

• Автор: Кинёв, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Построение управления для механической системы на основе декомпозиции
1.1 Постановка задачи
1.2 Полученные результаты
1.2.1 Приведение системы к нормальным координатам
1.2.2 Анализ ограничений и построение управления
1.3 Пример
2 Эллипсоидальные оценки фазового состояния линейных систем
2.1 Постановка задачи
2.1.1 Постановка задачи для систем с дискретным временем
2.1.2 Постановка задачи для систем с непрерывным временем
2.1.3 Вспомогательные задачи
2.2 Полученные результаты
2.2.1 Решение Задачи
2.2.2 Решение Задачи
2.2.3 Решение Задачи
2.2.4 Описание алгоритма
2.3 Пример
2.4 Пример
3 Моделирование процессов управления и оценивания
3.1 Постановка задачи
3.2 Основные результаты
3.2.1 Первый этап решения
3.2.2 Второй этап решения
3.2.3 Третий этап решения
3.3 Описание алгоритма
3.4 Пример
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Динамические системы с неопределенностями имеют большое значение в многочисленных приложениях теории управления и оптимизации. Часто в таких системах доступны результаты измерений одного или нескольких параметров, известны границы возможных ошибок этих измерений. Для таких систем важно построить оценки множества достижимости, то есть совокупности возможных концов траекторий данной системы, совместимых с уравнениями динамики системы (с учетом всевозможных реализаций неопределенностей в них) и результатами наблюдений (с учетом их возможных ошибок). Матрицы систем могут быть известными неточно: заданы лишь границы, в которых они могут лежать. Тем самым учитываются возможные неопределенности в задании параметров системы, а также параметрические возмущения. Такие системы могут моделировать различные механические, электрические и другие виды систем, чьи параметры неизвестны, но могут меняться в известных границах. В качестве примеров можно указать механические системы, в которых коэффициенты жесткости, затухания или трения заданы неточно. Электрические системы, где сопротивление, емкость, индуктивность или коэффициенты обратной связи известны с определенной точностью, также могут описываться в рамках этой модели.
Гарантированный (минимаксный) подход оперирует с множествами, в которых лежат неопределенные векторы. При этом предполагается, что неизвестные помехи локализованы в известных множествах, а в остальном произвольны. Гарантированный способ оценивания управляемых систем тесно смыкается с теорией дифференциальных включений [2], [49].
Гарантированный (минимаксный, игровой) подход к проблеме оценивания фазового состояния динамических систем был сформулирован в [15], [16]. Дальнейшее развитие он получил в книге [18], где содержатся результаты решения задач наблюдения и оценивания в динамических системах. В указанных работах используется понятие информационного множества, устанавливаются его свойства, предлагаются способы построения и аппроксимации. При этом применяется аппарат опорных функций. Рассматриваются совместные ограничения на ошибки измерений и начальные данные, включающие

как совместное квадратичное ограничение, так и другие возможные ограничения. Необходимо также упомянуть работы [19]-[21], в которых результаты имеют наиболее завершенный характер для ситуации, когда в линейной наблюдаемой системе ограничения на помехи и ошибки заданы не в каждый момент времени, а интегрально-квадратичным образом. В этом случае множество возможных состояний, совместимое с наблюдениями, является эллипсоидом, и дифференциальные уравнения для его параметров относятся к классу уравнений Риккати. Проблемам, связанным с применением эллипсоидов, посвящены также работы [81]-[88].
В работах [34]-[37] для исследования множеств достижимости также используется аппарат опорных функций. Получено дифференциальное уравнение в частных производных для опорной функции множества достижимости, введено понятие интегральной воронки управляемой системы.
Главным элементом во многих алгоритмах гарантированного оценивания управляемых систем является исследование множеств достижимости. В частности, в работах [16], [17] при формулировке правила экстремального прицеливания для дифференциальных игр изучаются общие фундаментальные свойства множеств достижимости. Свойства компактности и непрерывной зависимости множеств достижимости от времени исследовались в работах [76], [78], [93]. Следует особо отметить роль методов анализа и теории экстремальных задач [39], [44] в развитии гарантированного подхода.
В монографии [50] изучается структура множеств достижимости, а также предельных множеств достижимости, получающихся при стремлении времени к бесконечности, называемых множествами управляемости. Структура множеств достижимости исследуется также в работах [07], [3], [92], [28]. Изучению границы множества достижимости линейной нестационарной системы посвящена работа [51].
У гарантированного способа оценивания все основные проблемы сводятся к тому, что операции над неопределенными величинами переходят в операции над множествами сколь угодно сложной (вообще говоря) формы. В связи с этим практически приемлемое построение множеств достижимости сталкивается с большими трудностями, особенно в пространстве большой размерности. Даже если исходные множества в начальный момент времени

д = {п-1Тт{<3-1С))1/2. (2.36)
Здесь матрица С для случаев 1 и 2 задается равенствами (2.30) и (2.31) соответственно, причем выражение для дается соотношением (2.28). Началь-
ные условия для интегрирования системы (2.35), (2.36) на интервале [и, и+) имеют вид:
а{и) = а;, С} {и) = (2{. (2.37)
Здесь о,-, (& - результаты обработки данных измерений в момент и, полученные при решении Задачи 3, г > 1. При г = 0 в качестве оо, С^о для систем
как с дискретным, так и с непрерывным временем следует взять параметры эллипсоида, содержащего начальное множество М : М С Е(ао, С^о). Таким образом, величины а/+1 и <5,-+1 определяются как решение систем (2.35), (2.36) с начальными условиями (2.37) в точке I =
«ы-1 = а(^+1), (2.38)
яи = а{и+й, (2.39)
2.2.2 Решение Задачи 2.
Будем строить множество П;+1 для решения Задачи 2 в виде бесконечной прямоугольной призмы. Основанием этой призмы служит т-мерный параллелепипед П®+1, содержащий все векторы г, допустимые в силу уравнения (2.4). Параллелепипед П-)+1 ограничивает первые т компонент вектора I £ /Г , а остальные компоненты этого вектора в П<+1 могут принимать произвольные значения.
Уравнения наблюдения (2.4) при заданных уравнениями (2.6) и (2.9) ограничениях на возможную ошибку в матрице А и аддитивную ошибку ги позволяют, с учетом (2.5), выразить вектор г в следующем виде:
г = (А0 + А)~х{у-и).
Введем следующее обозначение для норм матрицы Ад
Но = 11 Ад*11 |р для случая 1,
Н0 = ИАд1]!,, 1/р + 1/<7 = 1, для случая
(2.40)
(2.41)