Проблема дополнительных первых интегралов в Гамильтоновой механике

• Автор: Зиглин, Сергей Львович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 c. : ил

ГЛАВА I. РАСЩЕПЛЕНИЕ СЕПАРАТРИС
§ I. Общая теория
§ 2. Задача о движении несимметричного тяжелого твердого тела около неподвижной
точки
§ 3. Стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости на трехмерном торе с полем скоростей, коллинеарным своему ротору. . . 54 § 4. Задача о движении четырех точечных вихрей на плоскости
Исторический комментарий к главе
Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРУППЫ М0Н0ДР0МИИ СИСТЕМЫ
В ВАРИАЦИЯХ
§ I. Общая теория
§ 2. Задача о движении симметричного тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. . . 98 § 3. Система Хенона-Хейлеса
§ 4. Система Янга-Миллса для однородного двухкомпонентного поля с калибровочной
группой $и(&)
Исторический комментарий к главе 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

(обоснование актуальности выбранной темы, предыстория вопроса и краткое описание содержания работы).
Хорошо известно,что гамильтонова система с степенями свободы в общем случав не интегрируется в квадратурах. В то же время, наличие дополнительных (т.е. функционально независимых с гамильтонианом) первых интегралов существенно облегчает процедуру интегрирования. Так, наличие дополнительных к<п, первых интегралов в инволюции (т.е. таких, что их скобки Пуассона попарно равны нулю) сводит интегрирование рассматриваемой системы к интегрированию систем порядка гг-к [65] . В частности, если система имеет /г-/ дополнительных первых интегралов в инволюции, то ее интегрирование сводится к квадратурам (теорема Лиу-вилля [52] ). Эти примеры говорят о важности проблемы наличия
дополнительных первых интегралов в гамильтоновой механике.
В последнее время проблема дополнительных первых интегралов приобрела особую актуальность, связанную с двумя обстоятельствами. Во-первых, на практике отсутствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к стохастизации - важному качественному явлению, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы (см., например, [59] ). Во-вторых, развитие алгебро-геометрических
методов точного интегрирования систем со скрытой симметрией (см., например, [30] ) закономерно привело к вопросу о границах их применимости и, тем самым, к проблеме дополнительных первых интегралов.
История проблемы дополнительных первых интегралов тесно связана с двумя классическими задачами механики: задачей я тел и

задачей о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки.
Как известно, задача h тел имеет десять классических первых интегралов: шесть интегралов количеств движения, три интеграла момента количеств движения и интеграл энергии. 8ти интегралы являются алгебраическими функциями координат и скоростей (по скоростям они даже полиномиальны). Было предпринято много безуспешных попыток найти алгебраические первые интегралы, функционально независимые с классическими, пока в 1887 году Г.Брунс £78] не доказал отсутствие таких первых интегралов в задаче трех тел. Впоследствии П.Пенлеве обобщил этот результат на случай произвольного числа тел, и на интегралы, алгебраически зависящие только от скоростей и произвольным образом зависящие от координат. Замечательно, что в теоремах Брунса и Пенлеве, в отличие от более поздних исследований, не наложено никаких ограничений на массы тел.
Другой подход к проблеме дополнительных первых интегралов развивал А.Пуанкаре. В своем мемуаре "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики" [67] он доказал отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в ограниченной задаче трех тел, аналитически зависящего от массы планеты. Позднее в "Новых методах небесной механики" Пуанкаре распространил этот результат на общую задачу h тел. Отметим еще раз, что теорема Пуанкаре не перекрывает теорем Брунса и Пенлеве, поскольку в ней рассматриваются только первые интегралы, аналитически зависящие от масс планет. (На это обстоятельство указывал и сам Пуанкаре [65] ). Лишь в 1969 году В.М.Алексееву удалось доказать отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в задаче трех тел при фиксированных значениях масс [I] - [4] . Заметим, что
в теореме В.М.Алексеева массы планет предполагаются малыми, так

В полосе О < 2т /< две особые точки:
функция ^ имеет
% л
- г20 (2 -#*)] =
Яа' ~Г
^ /^А £
/Сё-а){С-4)С**?
1(±Х0 /с2 + Ъо /7^ +

Xл?].
Зиря/ а я
* (А) - 22й /т~ё7" К *
* +^Х0 (-* -ЯЛ)] =
ЗЯе'

^ !(6-с1)(с-6)(с-а)