Анализ задач оптимального управления с учащающимися переключениями инвариантно-групповыми и численными методами

• Автор: Наумов, Георгий Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

1. Оптимальный синтез в двухмерной задаче оптимального управления с несимметричными ограничениями на управление и функционалом, зависящим от параметра

1.1. Постановка задачи

1.2.Принцип максимума

1.3.Метод динамического программирования

1.4.Ограничения разного знака

1.5.Ограничения одного знака

2. Численное построение кривой переключения для задач оптимального управления с учащающимися переключениями

2.1.Постановка задачи

2.2.Принцип максимума

2.3.Уравнение Беллмана

2.4.Алгоритм численного определения параметров кривой переключения

2.5. Алгоритм построения интегральной поверхности уравнения
Беллмана
2.6.Алгоритм определения параметров кривой переключения при наличии режима с особой дугой первого порядка
2.7.Пример ы
3. Инвариантно-групповой анализ уравнения Беллмана в трехмерной задаче Фуллера
3.1.Постановка задачи
3.2.Анализ на основе метода динамического программирования и оптимальный синтез задачи
3.3.Определение параметров кривой переключения инвариантного цикла и построение функции Беллмана на ней
4. Список литературы
5. Рисунки

В настоящей диссертации рассматриваются инвариантно-групповые и численные подходы к анализу задач оптимального управления с учащающимися переключениями.
Режимы с учащающимися переключениями [1-14] (так называемые четтеринг режимы) являются одними из интересных режимов, встречающихся в задачах оптимального управления. При таких режимах управление, будучи релейным, подвергается бесконечному (счетному) числу переключений на конечном интервале времени. При этом моменты переключений имеют точку сгущения либо внутри, либо на границе интервала времени, на котором рассматривается задача.
Любая задача с учащающимися переключениями характеризуется некой кривой (или поверхностью - в зависимости от размерности задачи), называемой кривой (поверхностью) переключения, на которой управляющий параметр испытывает разрыв (происходит переключение управления).
Хотя режимы с учащающимися переключениями на практике не реализуемы и в реальных условиях приходится ограничиваться режимами управления с конечным числом переключений, тем не менее, практическая квазиоптимальная реализация таких режимов предполагает построение неких приближений режимов с учащающимися переключениями, что делает изучение четтеринг режимов крайне важным для теории оптимального управления.
Задачи, в которых возникают режимы с учащающимися переключениями, можно найти во многих источниках, и в частности хотелось отметить работы Фуллера (Fuller А.Т.) [15-20], Маршала (Marshal С.) [24-26], Осипова С.Н. и Формальского А.М. [10]. Обширное и системное исследование четтеринг режимов приведено в работе [1] Зеликина М.И. и Борисова В.Ф., а также монографии [42] Борисова В.Ф.

Первым, п наиболее известным, примером задачи управления с учащающимися переключениями, является двухмерная задача Фуллера [15-20]:
X = у, у
Физический смысл данной задачи, возникшей в области радиоэлектроники, состоит в таком погашении шумов, возникших в радиоэлектронной системе, при котором интегральная ошибка будет минимальной.
Относительно данной задачи Фуллером были сформулированы и доказаны следующие утверждения:
1° Кривая переключения задачи (0.1, 0.2) состоит из двух полупарабол (рис. 1):
х = еу2, у > 0, ее (-1/2, 0) х = -еу2, у<
слева от нее
3° Вращаясь вокруг начала координат, оптимальная траектория достигает его за конечное время и пересекает при этом КП счетное число раз, причем промежутки времени между последовательными переключениями управления образуют геометрическую прогрессию
Метод, при помощи которого Фуллер определил параметр кривой переключения (е =-0,4446), довольно специфичен. Немного позже Вонэм (Vonham У.М.) в своей работе [20] продемонстрировал довольно элегантный способ решения задачи (0.1, 0.2) при помощи инвариантно-группового анализа исходной задачи и уравнения Веллмана [21] для нее. Данный метод, помимо
(0.1)

(0.2)

2° Оптимальное управление равно -1 справа от кривой переключения и

Шаги 2-10 повторяются для новой пары начальных приближений (ео>5о) 11 далее, пока при каких-то значениях (ео’£о) для некоторого наперед заданного числа £■□ 1 не окажется выполненным равенство И^.в'Л+Ие'о.й)!*«.
При условии сходимости данного алгоритма, результатом данной итерационнной процедуры будет нахождение коэффициентов в, g кривой переключения.
Приведенный здесь алгоритм был реализован в среде MAPLE (примеры расчетов приведены в разделе 2.7.). На входе программы задаются выражения
На, Нь, а результатом обработки программой заданных данных являются значения параметров кривой переключения.
Были проведены соответствующие вычисления для задач Фуллера, Маршалла и их модификаций: алгоритм для данных задач сходится и результаты расчетов посредством данного алгоритма совпадают с результатами, полученными другими способами [17,18,20,24-26,42].
2.5. Алгоритм построения интегральной поверхности уравнения Бсллмана
После того, как коэффициенты кривой переключения определены, можно построить интегральную поверхность уравнения Беллмана задачи (2.1), (2.2).

Для построения интегральной поверхности на полупараболе X = еу~
yt = 1 - ill, h — const, і = 0...im3X, imjx = int [l / /?], и в них находятся значения
выбирается
семейство
начальных
точек
сопряженных переменных из системы уравнений