Асимптотический анализ дискретных и непрерывных характеристик модели M!G!1!∞

• Автор: Улитина, Елена Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Сочи
• Количество страниц: 107 с.

Г Л А В А 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ M|G|l|oo ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ ЗАГРУЗКАХ
§1.1. Основное уравнение
§ 1.2. Асимптотический анализ
§ 1.3. Информация об устойчивых законах
§ 1.4. Сходимость к устойчивым законам
§ 1.5. Свойства траекторий
§ 1.6. Представления для времен ожидания
Г Л А В А 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ M|G|l|oo ПРИ ФИКСИРОВАННЫХ ЗАГРУЗКАХ
§ 2.1. Основное уравнение
§ 2.2. Асимптотический анализ
§ 2.3. Сходимость к устойчивым законам
§ 2.4. Усиленный закон больших чисел
§ 2.5. Представления для времен ожидания
§ 2.6. Основные формулы для стационарных времен ожидания
Г Л А В А 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В МОДЕЛИ M|G|1 |оо В УСЛОВИЯХ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКИ
§3.1. Одномерные и многомерные интегральные представления для
виртуальных времён ожидания
§3.2. Предельные теоремы для времён ожидания при критической
загрузке
§3.3. Представления на языке медленно меняющихся функций
ЛИТЕРАТУРА

Модели массового обслуживания образуют специальный класс математических моделей, описывающих поведение огромного множества разнообразных сложных систем. Их теоретический анализ необходим на этапе проектирования таких сложных систем, как информационные сети, в частности, интернет-сети, автоматизированные вычислительные системы, системы снабжения, транспортные комплексы, медицинское обслуживание и т.д.
Модели массового обслуживания возникают всюду, где мы имеем дело с клиентами, требованиями, вызовами, которые выстраиваются в очередь с целью приобретения услуг (получения обслуживания) в пунктах, узлах, их предоставляющих. Обслуживанием очередей занимаются так называемые приборы, осуществляющие последовательную "массовую" обработку (обслуживание) вызовов при учете влияния сопутствующих случайных факторов.
Известный специалист по вычислительным системам Л. Клейнрок определяет модели массового обслуживания (очередей) как широкий класс систем, в которых клиенты конкурируют друг с другом за доступ к ограниченным ресурсам. По его мнению " применение теории очередей (теории массового обслуживания) для анализа распределения ресурсов и решения задач о потоках данных в вычислительных системах является, по-видимому, единственным, доступным специалистам по вычислительной технике методом, позволяющим понять сложные связи в таких системах" [14].
По своей сути, практические задачи, приводящие к моделям массового обслуживания, являются оптимизационными. Особенно отчетливо эта особенность проявилась на этапе первичного развития теории, на который большое влияние оказал известный датский ученый А.К. Эрланг (1878-1929) -многолетний сотрудник Копенгагенской телефонной компании.

Функционирование телефонной станции того времени привело к возникновению следующей практической задачи. На телефонную станцию с конечным числом свободных линий (приборов) приходят клиенты (поступают вызовы). Если в момент прихода клиента находится свободная линия, то происходит подключение и начинается разговор (происходит обслуживание вызова). В противном случае клиенту приходится ждать освобождения линий (вызов становится в очередь и ждет освобождения прибора).
В связи с конкуренцией с другими телефонными станциями, слишком долгое ожидание начала обслуживания может заставить клиента обратиться к услугам другой телефонной станции.
С одной стороны, телефонная компания заинтересована в уменьшении числа телефонных линий, требующих на свое приобретение, содержание и эксплуатацию определенных затрат. С другой стороны, уменьшение числа телефонных линий может привести к потенциальным потерям клиентов, что отражается на доходах телефонной компании.
Возникает задача расчета оптимального числа телефонных линий на станции на основе статистически выверенного критерия потерь.
С рассматриваемой точки зрения теория массового обслуживания включается в широкое направление исследований - исследование операций.
При удовлетворении критериям потерь, при которых клиент предпочитает остаться в очереди и ждать начала обслуживания, мы имеем дело с моделями массового обслуживания с ожиданием.
Далее, учет влияния случайных факторов при изучении практических задач, приводящих к моделям массового обслуживания, обуславливает применение методов теории вероятностей для решения этих задач, относит модели массового обслуживания к стохастическим моделям - специальному разделу теории вероятностей.

Вначале покажем, что Р(у, й м,) < 1. Допустим противное, т.е. Р(у, < м,) = 1, что, из-за независимости и, и V,, эквивалентно следующему равенству /?(я) = 1.
Равенство выполнено тогда и только тогда, когда А(х) = 0, х е Н+ во всех точках роста ФР В(х). Напомним, что х0 - точка роста ФР /Дх), если для любого е > 0 справедливо неравенство
В(х0 + £)- В(х0 - е) > 0.
Отсюда, из-за монотонности А(х) следует, что А(х) = 0, хе 11+, что невозможно.
Далее покажем, что предел (1.6.2) не равен 1. Допустим противное, т.е. Р(м> = 0) = 1. Используем формулу Линдли
Р{м> <х) = Р(тах (0, + у,-«,)<*), х>0,р}<1, (1.6.3)
где СВ ту, У| и м, независимы. Из (1.6.3) имеем
1 = Р(и' = 0)=Р(тах(0,у, - и,) = 0) = Р(у, <м,)<1, что невозможно.
Наконец, покажем, что предел (1.6.2) не равен 0. Из (1.6.3) имеем
р(мг = 0) = Р(м' = 0)-Р(у] <н,)+С, (1-6.4)
где С = Р(XV > 0, у, - и, + м
Так как Р(у, < и,) < 1, то из (1.6.4) следует С > 0 и
Р(м> = 0)= ,>0.
1-Р(у, <м,)
Неравенства (1.6.2) установлены.
Пусть первый период занятости начался в момент 0. Обозначим Рп=р{„ =°). Я„ = Р(в = п),п>, Р = 2>„, ? = Х<7„