О методе штрафов для линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества

• Автор: Андреева, Наталия Львовна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 142 c. : ил

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМ ПРАВЫМ КОНДОМ

§ I. Оптимальность систем на конечном

интервале времени

§ 2. Оптимальность систем на бесконечном

полуинтервале времени

§ 3. Оптимальность нестационарных

систем

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ

§ 4. Оптимальность стационарных систем

с закрепленным правым концом

§ 5. Оптимальность нестационарных систем

с закрепленным правым концом
ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЕНИЕ
§ 6. Оптимальность систем со свободным правым концом при двух ограничениях на управление
§ 7. Оптимальность систем с закрепленным правым концом при двух ограничениях на управление
ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Математическая теория оптимального управления, основы которой были заложены в трудах Л. С, Понтрягина, А.М.Летова, Н.Н.Кра-еовского, Р.Веллмана, В.А.Троицкого, А.А.Фельдбаума ( см./ 1-6/) и других математиков., переживает за последнее десятилетие период бурного развития. Принцип максимума, разработанный коллективом советских математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным, представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования приобрели характер классических результатов математической теории оптимального управления.
В данной диссертационной работе рассматриваются задачи оптимального управления, описанные линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием качества и ограничениями на управление.
Большим вкладом в исследования данного типа задач являются работы, выполненные А.М.Летовым / 2-4 /, Р.Е.Калманом /9/ и др.
В работах А.М.Летова с использованием метода динамического программирования получено решение задачи без ограничений на управление в случае, когда время процесса предполагается бесконечным. Известны трудности, которые возникают при обосновании метода Веллмана, когда в задаче Летова на управление наложены ограничения 1 1/- 1 . Эти трудности связаны, например, с обоснованием гладкости функции Веллмана ( см. / 10 / ).
Среди множества методов решения задач оптимального управления с линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием качества и ограничениями па управление следует выделить принцип максимума Понтрягина / I /, /II/, метод динамического программирования / 3 /, /12/, метод проблемы моментов Н.Н.Кра-

С ОБСКОГО /5
Целью данной диссертационной работы является обоснование метода штрафов для задач оптимального управления с линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием оптимальности, ограничениями на управление, со свободным и закрепленным правым концом траектории, стационарных и нестационарных.
Идея метода штрафов - сведение задач на условный экстремум к задачам без ограничений путем введения штрафа за нарушение ограничений - известна давно. Впервые этот метод был предложен, видимо, Р.Курантом / 13 / в 1943 г. в связи с решением вариационных задач. Простота и универсальность схемы решения задач минимизации на множествах объясняет популярность метода штрафов. Различные прикладные и теоретические аспекты метода штрафов исследованы в / 14-25/. Использование идеи метода штрафных функций для решения задач оптимального управления содержится, например, в работах /12/ /17/ , /16/ , /2022/ , /24/ , /26—4СУ . К одним из первых работ в этом направлении можно отнести работы Н.Н.Кра-совского, Л.И.Шатровского, Г.М.Островского. В работе Л.И.Шатров-ского/27/ вводятся штрафы за нарушение ограничений на управление и траекторию. Полученный функционал со штрафами минимизируется одним из итерационных методов градиентного типа. В работах /26/, /26/ задача с измененным функционалом ( путем добавления штрафов ) исследуется приемами вариационного исчисления. В качестве модельных задач в этих работах рассмотрены задачи быстродействия.
При использовании метода штрафов имеется достаточно богатый выбор штрафных функций и большое разнообразие в способах снятия штрафами всех ограничений или же какой-либо части ограничений. Эти причины породили большое количество работ, посвященных модификациям метода штрафов, их приложениям к конкретным

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ
В главе 2 исследуются стационарная ( § Ч) и нестационарная (§5) задачи с закрепленным правым концом траектории. Закрепление траектории СС.(^) = 1,| снимается путем введения дополнительного штрафа к ранее рассмотренным штрафам. Это дополнительное слагаемое вносит определенные трудности в исследование уравнений для приближенных решений ьци) , в доказательство всех основных -результатов.
Для задач с закрепленным правым концом доказывается сходимость приближенных решений ицШ в С.Но,Ы к оптимальному управлению, получены интегральные уравнения для нахождения оптимального управления в форме программного управления и в форме синтеза. Одними из основных результатов являются теоремы 2.5, 2.8, в которых доказана сходимость приближенных ( в смысле малости невязок ) решений к оптимальному управлению.
§ Ч. Оптимальность стационарных систем с закрепленным правым концом
Рассмотрим динамическую систему с закрепленным правым
концом

77 = Ах + 6и , ЦШЦ С2.и

ЭсК0Н0 , хКд)
(2.2)
с минимизируемым функционалом вида
[и(1),МхЩ]+|/ШШ -Ц (2.3)
и с ограничениями на управление
lu.lt)! £ ,