Дискретные преобразования конечных распределений рациональных вероятностей

• Автор: Колпаков, Роман Максимович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 180 с.

1 Вспомогательные определения и результаты' * '

1.1 Используемые обозначения

1.2 Разделимые множества

1.3 Вспомогательные теоретико-числовые утверждения

1.4 Вспомогательные элементы

комбинаторики

2 Порождение бинарных распределений рациональных веф роятностей

2.1 Постановка задачи

2.2 Вспомогательные определения и

утверждения

2.3 Доказательство теоремы

2.4 Замкнутые классы в РС^
2.5 Замыкания одноэлементных множеств чисел
2.6 Критерий порождаемое множеств С[{р}]
2»7 Критерий порождаемое множеств С?[{П}] для произвольного П
2.8 Основная лемма
2.9 Вспомогательные результаты для замыканий числовых множеств
2.10 Замыкания конечных множеств чисел
2.11 Проверка порождаемое чисел конечными множествами
2.12 Замыкания бесконечных множеств
чисел
2.13 Конечно порожденные замкнутые классы в РС$
2.14 Структура замкнутых классов в РС^

3 Порождение конечных распределений рациональных вероятностей
3.1 Постановка задачи
3.2 Вспомогательные определения и утверждения
3.3 Замкнутые классы в БС^
3.4 Вспомогательные результаты для стохастических векторов
3.5 Замыкания одноэлементных множеств двумерных векторов
3.6 Замыкания одноэлементных множеств векторов произволь-
ной размерности
3.7 Замыкания конечных множеств двумерных векторов
3.8 Замыкания конечных множеств векторов произвольной раз-
мерности
3.9 Проверка порождаемое стохастических векторов конеч-
ными множествами
3.10 Замыкания бесконечных множестн векторов произвольной
размерности
3.11 Конечно порожденные замкнутые классы в БС^
3.12 Структура замкнутых классов в БС£
Заключение
Литература

Работа посвящена исследованиям дискретных преобразований независимых вероятностных распределений. Под дискретным преобразованием вероятностных распределений понимается вероятностное распределение конечной случайной величины, значение которой является функцией от значений случайных величин с исходными вероятностными, распределениями. Такие преобразования играют важную роль в вопросах реализации случайностей, имеющих большое значение для многих разделов дискретной математики и математической кибернетики (см. [1, 29]), поскольку задача реализации случайностей фактически заключается в построении некоторой случайной величины £0 с произвольным требуемым распределением из имеющихся в распоряжении исходных источников случайно-
* стей С1,..-,С* с фиксированными вероятностными распределениями, отличными от требуемого распределения. Значение случайной величины Со, очевидно, должно быть функцией от значений случайных величин
С1,__, С*- Поэтому построение величины Со состоит в задании функции
/ : П1 х ... х —>■ По, где П* — множество значений случайной величины Со * = 0,1 А;. Отметим, что если случайные величины Съ ■ • -, являются независимыми в совокупности, вероятностное распределение случайной величины Со однозначно определяется функцией / и вероятностными распределениями величин Съ - - -, Ск- Поэтому в этом случае мы можем говорить о том, что вероятностное распределение величины Со порождается множеством вероятностных распределений величин Съ • • • , Ос посредством функции /. Соответственно, мы говорим, что вероятностное распределение порождается множеством вероятностных распределений, если это распределение порождается данным множеством посредством какой-либо подходящей функции.
При исследовании данного порождения вероятностных распределений мы, в первую очередь, сталкиваемся с проблемой выразимости, т. е. проблемой, заключающейся в том, чтобы выяснить, порождается ли задан-

7*2 кратно числу ір(ттіі). Число трг,+Г2 г делится на (ті,тп2), поэтому в силу утверждения 9 найдутся такие целые сі,с2, что
трГ1+т 2_г = СіШі + с2т2, (2.32)
при этом в качестве с2 мы, очевидно, можем выбрать некоторое число из множества (1, Следовательно,
О < с2т2 < тхт2 < рТ1. (2.33)
Поэтому в силу равенства (2.32) имеем
рТі+Г2 > трГх+Т2-Г > СіТПі > трГ1+Г2-Г _ рП ^ рП+Г2-Г _ рП -> д
Таким образом, рсг+к Є С?[{р};ті : 1], поэтому е Рассмотрим
дробь Так как
О < сіті + рп < трп+Г2_г +рп < (т + і)ргі+г2-г < ргрг'+гі-г — рГ1+Г2;
то Є С{{р}]. Следовательно, , •-
1 _ Сі7П +рГі _ рГ1+Г2 -ргі - С!ті „
рГі+г2 рП+С2 ИГЛ'
Поскольку г2 делится на <р(ггіі) и (р, ті) = 1, согласно теореме Эйлера рГ2 — 1 делится на ті. Тем самым рг»+г2 — рГ2 — сТПі = рГі(рГ2 — 1) — Сіті делится на ті. Поэтому 1 — С1^І11^РІ содержится в С?[{р}; тлц : 1] и, следовательно, содержится в М. Тогда в силу утверждения 21 получаем, что С1^11^— Є М. Аналогично, из неравенств (2.33) и условий леммы вытекает, что Є М. Используя формулу (2.3) и учитывая равенство (2.32), имеем

Г ( с1тпі д ті +рГ1 с2т2 )
І рГі+Г2 ’ рг 1+Г2 ’ рГ1 ))
_ Сіті Л _ с2т2 Сіті + рГі с2т2
_ рГ+Г2 I рГ) I рГ1+Г2 рГ1 ~
_ сіті + с2т2 тпрГ1+Г2_г т
рГ1+Г2 рГ1+Г2 рТ '
Таким образом, согласно утверждению 24.
Лемму 10 можно обобщить на случай произвольной конечной совокупности чисел ті,тп2 гп8 применением индукции по э.