Локальная параметрическая идентифицируемость систем, аппроксимирующих сложные объекты

• Автор: Шляго, Павел Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

1 Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методов

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи и основной результат

1.3 Вспомогательные утверждения о трансверсальности гладких отображений

1.4 Доказательство основной теоремы

2 Локальная параметрическая идентифицируемость дискретизованных параболических уравнений

2.1 Введение и постановка задачи

2.2 Случай линейной зависимости нелинейности от параметра

2.3 Случай кусочно-линейной зависимости нелинейности от параметра и фазовой переменной

2.4 Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций

параболических уравнений с нелинейностью, линейно зависящей от параметра

3 Локальная идентифицируемость периодических систем по наблюдению их дискретизаций
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи и основной результат
3.3 Доказательство основного результата
Литература

Основными моделями сложных динамических процессов в естествознании являются нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому, как с теоретической, так и с практической точки зрения важно изучение различных свойств этих уравнений. Одним из таких свойств является свойство параметрической идентифицируемости.
При проведении различных практических экспериментов и при моделировании изучаемая система обычно зависит от некоторого количества параметров. В большинстве случаев набор параметров можно представить в виде вектора некоторой размерности, поэтому далее будем вести речь об одном параметре.
Под параметрической индентифицируемостыо модельной системы подразумевается возможность различить два разных значения параметра системы по поведению ее траекторий при этих значениях параметра.
Пусть Л — множество всех возможных параметров системы. Предположим, что в Л введена некоторая метрика р.
Для большинства классов модельных систем глобальная параметрическая идентифицируемость невозможна, т. е. невозможно различить два любых параметра А], Аг (Ах ф Аг), лежащих в множестве Л, поэтому большую практическую ценность представляет локальная параметрическая идентифицируемость.
Под локальной параметрической идентифицируемостью (локальной идентифицируемостью) модельной системы при значении параметра А1 6 Л подразумевается существование такого числа е > 0, что по наблюдению траекторий модельной системы возможно различить параметры Аь А2 при А2 £ Л, А1 ф А2 и р(Ах, А2) < £■
Сразу заметим, что для нелинейного дифференциального уравнения

нахождение решения в явном виде возможно только в исключительных случаях, поэтому для исследования данных систем используются численные методы. Намеченную выше задачу также целесообразнее рассматривать как для исходной модельной системы, так и для ее аппроксимации.
Выше намеренно не приводились строгие определения, так как четкая формулировка указанных свойств возможна только для каждой конкретной постановки задачи.
Основные условия локальной параметрической идентифицируемости для различных классов уравнений даны, например, в работе [3].
В главе 1 изучается свойство, близкое к индентифицируемости, — различимость.
Рассмотрим гладкое п-мерное многообразие X класса гладкости С00 и систему дифференциальных уравнений
х = Б(х), х £ X. (1)
Пусть Я е <£"г,г > 1, где — пространство всех векторных полей класса Сг, определенных на X. Пусть Я € &г{х,шк), где %г(х,тк) -пространство всех отображений класса Сг из X в Шк, к > 1.
С практической точки зрения объекты, введенные выше, имеют следующий смысл: система (1) моделирует некоторый сложный процесс, а отображение Н является моделью некоего измеряющего устройства.
Введем в <&Г(Х, К*) сильную Сг-топологию Уитни.
Через <р(1,х) обозначим траекторию системы (1) с начальными данными ф = 0, хо = х. Предположим для определенности, что все решения рассматриваемых систем продолжимы для всех £ 6 М.
Пусть — риманова метрика па многообразии X.
Определение 1.3. Будем называть семейством численных методов

Предположим, что для фиксированного параметра А € Л существует такое число Рх > 0, что из неравенств
К°1<рл, ;
следует, что
К1 < Ра, (2.19)
где уп+1 = <р})Х(ип), V0 £ Ем, га € N.
Иными словами, предположим, что для фиксированного Л все положительные полутраектории отображения ^/,А, начинающиеся в Димерном гиперкубе
<г?=[-Рх,Рх]х ...х[-Рх,Рх,
остаются в этом гиперкубе.
Данным свойством обладают, например, диссипативные системы. Будем считать, что возможно выбрать такое значение кх, что для всех А е Л выполнено неравенство
Р < Л^ж.
Будем, кроме того, предполагать, что неподвижные точки отображения г/Дд принадлежат множеству
Xм = X х ... х X.
Покажем, что при сформулированных условиях в типичном случае параметр А локально идентифицируем по наблюдению траекторий отображений <рх с любыми начальными данными.
Теорема 2.3. Существует такое открытое и плотное подмножество Г пространства Т, что если / € Т', а А £ Л, то существует такое число е > 0 (зависящее от / и X), что для любых точек ь°, га0 £ М.м и параметра Ао с0< |А — Ао| < £ существует такое натуральное число щ, что уп ф и)п при га > щ, где г/+1 = <р/,х(и1) и ю1+1 = р/,Х1{т1).