О комбинаторной структуре непримитивных параллелоэдров первого типа

• Автор: Большакова, Елена Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с. : ил.

1 Различные определения 1Ж-области и П-разбиения: по Г.Ф. Вороному, Б.А. Венкову, Б.Н. Делоне

1.1 Основные разбиения, связанные с ПКФ

1.2 1Ж-разбиения

1.3 .^-разбиения

1.4 Дуальность

1.5 Ь-типы
2 Установление комбинаторной структуры непримитивного параллелоэдра первого типа по его символу

2.1 Первый тип параллелоэдров и его символ

2.2 О расположении в гг-мерном пространстве параллелоэдров, соответствующих правильным квадратичным формам ранга к < п

2.3 Суммы Минковского отрезков (зоноэдры)

2.4 Ранг символа

2.5 Вырезы и остатки в символах
2.6 Зоны граней
2.7 Отдельные грани
2.8 Инцидентность граней
2.9 Примеры
3 Критерий комбинаторной эквивалентности параллелоэдров первого типа, заданных символами
3.1 Определения, формулировка основной теоремы

3.2 Из комбинаторной эквивалентности параллелоэдров следует циклическая неразличимость символов
3.3 Из циклической неразличимости символов следует целочисленная унимодулярная эквивалентность квадратичных форм
3.4 Согласованная ориентация двух символов
3.5 Основная теорема без ограничения рассмотрения только “эталонными” квадратичными формами
Список литературы

Параллелоэдром п измерений называется n-мерный ограниченный выпуклый многогранник, параллельными копиями которого можно без пропусков и перекрытий по внутренним точкам замостить все п-мерное евклидово пространство Еп.
В XIX веке в классических работах Е.С. Федорова [1, 2] и Минков-ского [3] были заложены начала теории параллелоэдров. Особо значительное продвижение в этой теории совершил в начале XX века Г.Ф.Вороной [4].
Большой класс параллелоэдров составляют так называемые области Дирихле-Вороного точечных решеток. Вопрос о том, исчерпываются ли ими все параллелоэдры, до сих пор открыт. Вороной показал, что аффинно эквивалентны /Ж-областям все примитивные параллелоэдры [4], Житомирский несколько расширил этот класс [8], Делоне дал доказательство для всех я-мерных параллелоэдров при п < 4 [6].
Одной из основных задач, связанных с параллелоэдрами, является перечисление всех их разновидностей. Полное описание трехмерных параллелоэдров дал Федоров [2], все четырехмерпые параллелоэдры перечислил Делоне [9].
Чаще всего параллелоэдры классифицируют по L-типам. Первоначально это понятие определил Вороной. В дальнейшем оказалось, что удобно различать геометрический и арифметический L-типы па-раллелоэдра.
Перечисление L-типов пятимерных примитивных параллелоэдров выполнили Рышков и Барановский [10,11], а также, независимо, швейцарский геометр П. Энгель [15]. Результаты этих двух исследований не совсем совпадали (221 и 223 типа примитивных пятимерных параллелоэдров соответственно), сравнение предпринял В.П. Гришухин [16]. Итогом стало уточнение: существует ровно 222 типа примитивных пятимерных параллелоэдров.
В последнее время изучение ПИ-областей решеток сведено к изу-

(а) Некогерентная ориентация
(Ь) Когерентная недопустимая ориентация и ее символ
(с) Когерентная допустимая ориентация и ее символ
Рис, 2.4: Различные ориентации одного и того же 2-выреза