Алгебраические операции над ортогональными рядами в задачах обработки данных

• Автор: Панкратов, Антон Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Пущино
• Количество страниц: 104 с. : ил.

0.1 Введение

1 Методы вычисления коэффициентов разложения

1.1 Предварительные сведения

1.2 Введение в обобщенные ряды Фурье

1.3 Дискретное представление базисных функций

1.4 Алгоритм вычисления ортогональных функций высокого порядка

1.5 Аналитические методы

1.5.1 Метод подстановки

1.5.2 Использование уравнения ломаной

1.5.3 Преобразование степенного ряда в ортогональный

2 Способы реализации и свойства оператора умножения на функцию

2.1 Пространство коэффициентов разложения
2.2 Пространство функций дискретного аргумента
2.3 Формулы для многочленов Чебышева
2.4 Базис из собственных функций оператора умножения
3 Некоторые задачи обработки данных
3.1 Получение, преобразование и измерение одномерных сигналов
для задач распознавания образов и анализа изображений
3.1.1 Декартовы координаты
3.1.2 Естественное уравнение кривой
3.1.3 Интегрирование и дифференцирование

3.1.4 Нерегулярные кривые
3.1.5 Вычисление моментов
3.1.6 Инвариантные признаки
3.1.7 Метод пристрелки и движение по кривой
3.2 Диагностика и идентификация параметров динамических систем
3.2.1 Функции чувствительности и уравнения диагностики
3.2.2 Аппроксимация функции веса ядерного магнитного резонанса
4 Спектрально-аналитическое исследование нелинейного уравнения Шредингера
4.1 Математическая модель
4.2 Конечномерное приближение
А Некоторые процедуры для работы с ортогональными рядами
А.1 Процедуры для полиномов Чебышева первого рода
А.2 Процедуры для функций Сонина-Лагерра
Выводы
Список литературы
Список публикаций по теме диссертации

' 0.1 Введение
Предпосылкой рассмотрения алгебры отрезков ортогональных рядов является развитие и внедрение в практику спектральных методов для решения различ-. ных задач обработки информации. В последнее десятилетие эти методы особен-
„ но актуальны в связи с проблемами передачи и сжатия данных. Спектральные
методы предоставляют возможность эффективного адаптивного сжатия сигна-
* лов при допущении некоторой погрешности (сжатие с потерями) и дальнейшей интеллектуализированной обработки и преобразования информации. При этом отрезки ортогональных рядов выступают в роли универсального способа пред-
* ставления данных в дискретной форме, удобной для хранения и обработки на вычислительных машинах.
Важной и актуальной задачей является разработка методов обработки данных, альтернативных частотным методам Фурье, предназначенным в основном для обработки стационарных сигналов. Исследователи предметных областей естественных наук, а также разработчики современных информационных технологий вынуждены использовать быстрое преобразование Фурье из-за отсут-" ствия в такой же мере разработанного математического аппарата и алгоритмического обеспечения для других базисов. Это отставание в свою очередь связано с наличием актуальных математических проблем, связанных с применением ортогональных рядов.
. Спектральные методы представляют обширную и интенсивно развивающуюся область математики. Об этом свидетельствует открытие и бурное развитие

мости является немонотонность. Замечательно, что эти свойства могут быть присущи функции, представленной бесконечным рядом гладких функций.
На рис.3.1 на стр.48 приведены результаты вычисления длины графика функции в зависимости от числа членов разложения функции (3.6) при разных значениях параметра Л и параметра Ь = 1.5. Разложение производилось в ортогональный ряд по полиномам Чебышёва первого рода. Вычисление длины дуги производилось полностью в пространстве коэффициентов разложения на основе формул дифференцирования, умножения, интегрирования и применения алгоритма извлечения квадратного корня из ряда, основанном на методе Зейделя. Эти расчеты приблизительно соответствуют гипотезе (3.5) об асимптотическом поведении длины кривой в зависимости от числа членов разложения.
Эта функция задана своим спектральным разложением, вообще говоря, неортогональным. Сама функция удовлетворяет следующему масштабному соотношению, которому в теории фракталов уделяется большое внимание:
Однако для настоящего исследования более важным является масштабное соотношение, которое выполняется дтя ее амплитудно-частотной характеристики:
где А амплитуда, а со частота. Например, можно построить следующую функцию, которая имеет такую же амплитудно-частотную характеристику (3.8):
+оо
1Т(1) = та<'°~2'> со5(таі) (3.9)

Эта функция получается из функции (3.6) заменой Ьп = та. Спектр исходной функции является сильно разреженным, т.к. его частоты возрастают в геометрической прогрессии. Спектр функции (3.9) подчинен степенному закону. Таким образом, эти функции представляют собой два примера спектральных разложений фрактальной функции. Реальные функции приблизительно удовлетворяют соотношению (3.8), на основе которого можно оценивать их фрактальную размерность.
XV (Ы) = Ь2~° XV (і)
(3.7)
А{Ьш) = Ь° 2А(ш)
(3.8)