К вопросу о существовании и единственности периодических решений для дифференциальных уравнений

• Автор: Белоусов, Федор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.09, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Вопросы существования периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

1.1 Основные понятия

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Свойства периодических решений

1.1.3 Оператор периодических решений

1.2 Простейшая линеаризация не зависящая от времени

1.2.1 Оценка нормы оператора периодических решений

1.2.2 Уравнение с нелинейным слагаемым и простейшей линеаризацией

1.2.3 Оптимальное значение константы аор1 в одномерном случае

1.3 Простейшая линеаризация, зависящая от времени
1.3.1 Оценка нормы оператора периодических решений
1.3.2 Уравнение с нелинейным слагаемым и простейшей линеаризацией, зависящей от времени
1.4 Матричная линеаризация
1.4.1 Оценка нормы оператора периодических решений
1.4.2 Уравнение с нелинейным слагаемым. Случай п =
1.4.3 Уравнение с нелинейным слагаемым. Случай произвольного п е N
1.5 Область применения изучаемого метода, поиска периодических

решений
Глава 2. Вопросы существования периодических решений для одномерных дифференциальных уравнений п-го порядка
2.1 Постановка задачи
2.2 Сведение одномерного уравнения п-го порядка к уравнению первого порядка размерности п
2.3 Пространство периодических решений и оператор периодических решений
2.4 Оценка нормы оператора периодических решений
2.5 Условия существования единственного периодического решения
для уравнений п-го порядка
2.6 Условия существования единственного периодического решения
для уравнения второго порядка
Глава 3. Вопросы существования периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом
3.1 Введение. Постановка задачи
3.2 Свойства периодических решений для линейного однородного уравнения
3.3 Свойства периодических решений для линейного неоднородного уравнения
3.4 Оператор периодических решений
3.5 Существование и единственность 27г-периодического решения
для нелинейного уравнения. Случай простейшей линеаризации
Литература
Введение
Актуальность темы. Диссертация посвящена периодическим решениям нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Периодические решения играют важную роль как в качественной теории дифференциальных уравнений, так и во многих других научных областях и прикладных задачах. Существуют разделы физики и техники, которые полностью базируются на колебательных явлениях. Это задачи электромагнитных колебаний [16, 20, 21, 22], которые включают в себя оптику [45], учение о звуке [88], радиотехнику и прикладную акустику и т.д. Задачи анализа периодических решений дифференциальных уравнений также возникают в химии [19], при изучении биологических систем [55, 72, 73, 75], в задачах небесной механики и астродинамики [78] и при моделировании экономических процессов [31].
Универсального подхода для изучения периодических решений дифференциальных уравнений не существует. Имеется несколько основных методов, которые предлагают различные способы решения данной задачи. В качестве основных методов доказательства существования периодических решений дифференциальных уравнений следует отметить метод точечных отображений Пуанкаре-Андронова [6, 14], топологический метод, метод направляющих функций [37, 40, 63], усреднение Крылова-Боголюбова [43, 44, 12], вариационные методы и т.д. Метод Пуанкаре-Андронова применим в том случае, когда известно в какой части фазового пространства может располагаться периодическая траектория, а также трансверсальная

F : Cf'n -> фп, #[£(-)](*) = f(t,x(t))> * E [0,w]-
Теорема 1.6 Если выполняется условие
T/||JP|| < 1, (1.33)
где ||JP|| определяется формулой (1.32), то для уравнения (1.29) (соответственно, для уравнения (1.1),) существует и-периодическое решение х( ) и ж(') Е С^(Р). Такое решение является единственным. Более того, для любой исходной функции х°() 6 с£?’п последовательность хк() = (JPF)fc[x°(')] стремится к функции £(') Е С£^’п, справедлива оценка сходимости
||(JJPF)fe[ж0(•)](') — x(')||c£o),n < (L/IIJPII)* р°С) -®С)11с(о),п, (1.34)
а периодическое решение х() индуцируется функцией х(') путем ее периодического продолжения на всю числовую ось R.
Доказательство. В пространстве С®’” определим операторное уравнение
(JPF[fC)])C) = *(■). (1.35)
В силу предложения 1.1, продолжение по периодичности 0J на всю числовую ось всякого решения уравнения (1.35) задает периодическое решение уравнения (1.29) (соответственно, уравнения (1.1)) и наоборот. Так как
g() Е C(°)(R х R",R"), то каждое решение уравнения (1.35) будет принад-(Г>(i)>n
лежать пространству .