Наилучшее приближение дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом

• Автор: Выгодчикова, Ирина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 110 с.

ГЛАВА I. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Решение задачи для случая N < п
§ 3. О существовании решения задачи
§ 4. Необходимые и достаточные условия решения
§ 5. Критерий единственности решения
§6.0 крайних точках множества решений
§ 7. Случаи сведения к задаче П.Л. Чебышева
ГЛАВА II. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
§ 8. Схема алгоритма общего решения задачи
§ 9. Алгоритм решения для случая N - п +1
§10. Монотонный алгоритм решения для случая М >п +
Библиографический список
ВВБДБНИБ
1. Задачи по аппроксимации и оценке многозначных отображений математическими объектами простой структуры находят обширные приложения в естествознании, в том числе в самой математике, и представляют один из разделов негладкого анализа.
Локальными аппроксимациями многозначных отображений занимались многие отечественные и зарубежные математики (Пшеничный Б.Н. [17] - [18], Демьянов В.Ф. [2] - [5], Рубинов А.М. [20] - [21], Никольский М.С., Половинкин Е.С. [15] - [16], Минченко Л.И. [12], Обен Ж.-П. [14], Гороховик В.В. [1] и др.).
К задачам, имеющим нелокальный характер, относятся внешнее и внутреннее эллипсоидальное оценивание многозначных отображений. Эллипсоидальными оценками множеств достижимости динамических систем занимались Черноусько Ф.Л. [24], Куржанский А.Б. и многие другие известные математики.
Относительно немного известно работ по равномерному приближению многозначных отображений на некотором заданном множестве. Так в работе Никольского М.С. [13] рассматривается задача о равномерном приближении непрерывного многозначного отображения, заданного на отрезке, постоянным многозначным отображением.
Задача о приближении графика сегментной функции графиком полинома заданной степени на отрезке в метрике Хаусдорфа, которую рассматривал Сендов Б. [23] и др. (см. напр. [22]), также, по сути, относится к задачам нелокальной аппроксимации многозначных отображений.
В диссертации рассматривается следующая задача:
р(а)= max max {y2k -p„(A,tk),pn(A,tk)-yu} > inf (1)
*е[0:ЛГ] ЛеЯл+1
где T = {t0 Угм ^У,к' *€[0:tf], р„(А ,t)=a0+alt + ... + antn, Л = (а0,а, a„)eRn+l.

Требуется минимизировать максимальное по всем узлам сетки Т уклонение образов многозначного отображения (м.о.) ф{-) от значений алгебраического полинома.
Функцию
/(А,к):= тах{у2_* -р:п(А,1крп{А,1к )-у1к }
будем называть амплитудным модулем. Поскольку эта функция является выпуклой по А, то целевая функция в задаче (I) также является выпуклой.
2. Приведём сравнение задачи (1) с некоторыми известными задачами.
Задача о равномерном наилучшем приближении функции алгебраическим полиномом заданной степени была сформулирована П.Л. Чебышевым в 1854 году. Приведём формулировку этой задачи для дискретного случая ([3]).
Задана таблица значений некоторой функции ук =>'(?*), &б[0:./У], ^ Р-= ^пмх к -р„(ААк). (2)
АвЛ”*1 £ е [0: /V ]
В случае если у1к = у2,*> : Л'], задача (1) вырождается в задачу
(2). Поэтому возникает естественная гипотеза-, решение задачи (1) можно получить, осуществив чебышевскую интерполяцию ([3]) для функции, заданной в узлах сетки Т значениями
У],к + У 2,к , г„
У к ■= . кв[0:Ы.
Эта гипотеза опровергается простыми примерами.
Пример 1. Пусть п = 1, Т = { 0, 0.5, 1 },
Ф(0)= [0;2], Ф(0.5)=[0;2], ф( 1)= {2}.
Тогда
(3)

-е, если /(А,к)=/2(А,к
£, если /{А,к)> /2(А,к), ’’ ’ л+1-|5|’ (5.6)
£к = 0, к е
Рассмотрим систему из (п +1) линейных уравнений относительно неизвестных компонент вектора АЕ:
Рп (Ае. Ч )= Рп {А>Ч ) + £к» к 6 5 и £и+1_|^| ). (5.7)
Система (5.7) имеет единственное решение, непрерывно зависящее от
е > 0. Произвольно возьмём к е (£ Д„+1_|^|) • Ввиду (5.5), имеем
/СА,к)<р . (5.8)
Рассмотрим случай, когда
/(А, к)=/2(А,к)= у2к - рп (А, 1к)>р„ (А, 1к ) - у]к.
Отсюда получаем неравенство
У2,к-Рп(А>{к) + £>Р„(А,1к)-£-у1'к,/£>0. (5.9)
Из (5.9), в силу (5.6), (5.7) вытекает, что
У2,к ~ Рп{АвАк)> Рп(А£,1к)~ У,к, Vг>0,
то есть
/г{Ае>к)>А(АеЛ), V£>0,
Тогда, в силу непрерывности амплитудного модуля /(А, к) по первому аргументу для любого к е |кх £п+]_|<,| |, ввиду (5.8), имеем соотношение
Р* > АаеЛ)=/2{Ае>к)=/2{Л,к)+е = /(А,к) + е, /£е(0£к), (5-10)
где £к р* - /(А, к) (поскольку к г £, в силу (5.5), £к > 0 ).
Аналогично, в случае, если
ЛА>к) = А(А,к)= Р„(А,Ч)~ у и > У2,к - Ря(А>*к)>
приходим к соотношению
Р* >ЛАеЛ)=/{Ае,к)=/{л,к)+ £ = /(А,к)+ Е, уее(0;£*),